期中考试仿真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
2．的展开式中的系数是（ ）
A. 20 B. 40 C. 80 D. 160
3．函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节的连续三天内，恰有两天出现大潮的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）
A. 150 B. 300 C. 450 D. 225
6．函数，若，，，则有（ ）．
A. B.
C. D.
7．由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A. 120 B. 168 C. 204 D. 216
8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ）．
A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大项为第4项 D. 有理项共3项
10．下列说法正确的是（ ）
A. 随机变量，则
B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，且，则时概率最大
C. 从装有2个红球 和2 个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D. 有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中一次性摸出5个红球，则摸到红球的个数服从超几何分布
11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲从必须经过到达处的方法有9种
B. 甲乙两人在处相遇的概率为
C. 甲、乙两人相遇的概率为
D. 甲从处到达处的方法有120种
12．函数f（x）＝lnx＋1，g（x）＝ex-1，下列说法正确的是（ ）（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A. 存在实数m，使得直线y＝x＋m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
B. 存在实数k，使得直线y＝kx-1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
C. 函数g（x）-f（x）在区间上不单调
D. 当x∈（0，1）时，恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则_________．
14.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为_________．
15. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）
16．已知函数，若存在，，使得，则的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
（2）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？
（3）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
18．已知函数，且
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；
19．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：
（1）在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及均值．
20．已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
21．年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．
（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）
附1：，，．
（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？
附2：若，则．
22．已知函数，其中.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围.期中考试仿真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
【答案】D
【解析】如果规定每位同学必须报名，且每位同学限报其中的一个小组，每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有（种），
故选：D．
2．的展开式中的系数是（ ）
A. 20 B. 40 C. 80 D. 160
【答案】D
【解析】因为二项展开式中的是降幂，2是升幂，当的指数降为3时，2的指数升为3，二项式系数的上标升至3，其系数是数，
故选：D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，所以，
令可得，所以的单调递减区间是.
故选：B.
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节的连续三天内，恰有两天出现大潮的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该地在该季节内连续三天内，恰有两天出现大潮包括两天出现大潮概率为.
故选：B
5．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）
A. 150 B. 300 C. 450 D. 225
【答案】C
【解析】先从后排6人中抽出两名同学，有种方法，
然后与前排4人排列，有种排法，
因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，
所以共有种调整方法.
故选：C.
6．函数，若，，，则有（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知，，，
所以
因为
所以函数在R上单调递增，
所以
故选：B
7．由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A. 120 B. 168 C. 204 D. 216
【答案】C
【解析】先不考虑0的情况，
则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.
再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.
所以共
故选：C
8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，则的切线斜率为，
由，则的切线斜率为，
而两曲线上总存在切线、有，即，
而，即，故，
所以，解得.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ）．
A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大项为第4项 D. 有理项共3项
【答案】BC
【解析】因为二项式的展开式中共有7项，
所以，则二项式为，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A错误，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B正确，
对于C，因为二项式的展开式中共有7项，所以由二项式的性质可知二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，二项式展开式的通项公式为，因为，所以当时，其对应的项为有理项，即共有4个有理项，所以D错误，
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A. 随机变量，则
B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，且，则时概率最大
C. 从装有2个红球 和2 个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D. 有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中一次性摸出5个红球，则摸到红球的个数服从超几何分布
【答案】BD
【解析】A：由二项分布的概率公式得: ，故错误；
B：在10次射击中击中目标的次数服从，当时对应的概率，所以当时，，
由得：，即，，
则且，即时概率最大，故正确；
C：至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故错误；
D：设摸出红球的个数为，则，故满足超几何分布，故正确；
故选：BD
11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲从必须经过到达处的方法有9种
B. 甲乙两人在处相遇的概率为
C. 甲、乙两人相遇的概率为
D. 甲从处到达处的方法有120种
【答案】BD
【解析】对于A，甲经过到达，可分为两步：第一步，甲从到的方法数有种，第二步，甲从到的方法数有种，所以由分步计数原理可得甲从经过到达处的方法有种，所以A正确，
对于B，由题意可得甲从处到达处的方法有种，甲经过的方法数为种，同理可得乙从处到达处的方法有20种，乙经过的方法数为9种，所以甲乙两人在处相遇的方法数为，
所以甲乙两人在处相遇的概率为，所以B错误，
对于C，因为甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法，
所以，
所以甲、乙两人相遇的概率为，所以C正确，
对于D，甲从处出发随机选择一条沿街的最短路径到达处需走6步，共有的方法为种，所以D错误，
故选：BD
12．函数f（x）＝lnx＋1，g（x）＝ex-1，下列说法正确的是（ ）（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A. 存在实数m，使得直线y＝x＋m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
B. 存在实数k，使得直线y＝kx-1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
C. 函数g（x）-f（x）在区间上不单调
D. 当x∈（0，1）时，恒成立
【答案】ABD
【解析】对于AB，设直线分别与与分别相切于点，，
则，且，故，
且，，化简得，故或，
故公切线的斜率为或，对应的截距分别是或，
故公切线为或，故选项A，B都正确；
对于CD，令，则，，
故时，，在上单调递增，
又，，则，故时，，故函数在区间上单调递增，故选项C错误；
又，，故存在，使得，
即，，且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则_________．
【答案】-1
【解析】令x=0，则 ，
，
故答案为：-1.
14.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为_________．
【答案】
【解析】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故答案为：
15. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）
【答案】 ①. 240 ②. 56
【解析】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同分组情况有种方法，
再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.
5个相同小球放入4个盒子，
若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法．
故答案为：240；56．
16．已知函数，若存在，，使得，则的最小值是______.
【答案】
【解析】当时，，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，的极小值为，作出函数的图象如下图所示：
因为存在，，使得，
设，则，且，所以，，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故的最小值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
（2）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？
（3）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
【答案】（1）; （2） ; （3）
【解析】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数，
所以选法种数为．
（2）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，
其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，
女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，
男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种，
所以满足要求的安排方法有种，
（3）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种，
将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法，
根据分步计数原理得共有
18．已知函数，且
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；
【答案】（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为.
【解析】（1）函数的定义域为
由已知可得：
解得，经检验：符合题意
（2）的定义域为
由于满足
故：在上单增，故：当时，恒成立
故
单调递减 单调递增
故：的单调递减区间为，单调递增区间为
19．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：
（1）在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及均值．
【答案】（1）分布列见解析； （2）分布列见解析，0.4.
【解析】（1）由题设，的可能取值为－2，0，2，
，
，
．
的概率分布为
X －2 0 2
P 0.2 0.5 0.3
（2）由题设，的可能取值－4，－2，0，2，4，
，
，
，
，
．
的概率分布为
Y －4 －2 0 2 4
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以.
20．已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1） （2）和.
【解析】（1）由题意，的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，
可得，即，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得二项式，其展开式的通项为，
即展开式中项的系数为，
设第项的系数最大，则满足，
可得，即，解得，
当时，；当时，，
所以展开式中系数最大的项为和.
21．年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．
（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）
附1：，，．
（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？
附2：若，则．
【答案】（1）成绩在的人数约为人，分以上的人数约为684人；（2）63分．
【解析】（1）正态分布，故均值为55，，又
所以
成绩在的人数约为人
由正态分布曲线的对称性可得：
，
则
所以估计分以上的人数约为人
（2）设该划线分为，由得，
令
由题意因为，，所以
所以，所以
22．已知函数，其中.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析 （2）.
【解析】（1）的定义域为，依题意可知，，
，
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，由恒成立，所以定义域上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，则，即在上有两个正根，即与的图象有两个交点，
，
因为为减函数，且时，，
所以当时，，，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，为，
因为，时，，
所以.
