期中考试仿真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，
所以不同的报名方法有种.
故选：C.
2．随机变量的分布列如下表所示，且，则( )
0 1 2 3
0.1 0.1
A. B. 0.4 C. 0.2 D. 0
【答案】D
【解析】由分布列的性质可知，，即m＋n＝0.8，
又∵，
∴联立方程解得，m＝n＝0.4，
∴m－n＝0.
故选：D.
3．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由图可知，在x＝1和x＝2在f(x)的增区间内，故，且在x＝1处切线斜率大于在x＝2处切线斜率，即；
x＝3和x＝4在f(x)的减区间内，故，且在x＝3出切线斜率比在x＝4处切线斜率大，即；
综上，.
故选：B.
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
【答案】B
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
故选：B．
5．(，且)的展开式中的系数为（ ）
A. 150 B. 165 C. 120 D. 180
【答案】B
【解析】展开式中含的系数是
.
故选：B
6．学校食堂分设有一 二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A. 0.18 B. 0.28 C. 0.42 D. 0.65
【答案】D
【解析】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；
则,,,
由全概率公式可知
,
故选：D.
7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰 短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.
A. 30 B. 60 C. 90 D. 150
【答案】D
【解析】由题设，将5人分为、两种分组方式，
1、分组：种；
2、分组：种；
所以共有150种分配方案.
故选：D
8．已知是函数的导函数且对任意的实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
可设，
，
，
所以，
解不等式，即，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则正整数x的值是1
【答案】ABC
【解析】选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，
，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.
故选：ABC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法
【答案】BC
【解析】因为，故A错误；
因为6人两两握手，共握（次），故B正确；
先在5个位置中选出3个位置，对进行全排列，剩下两个位置将放入即可，
故有：（种），而正确的共有1种，
所以可能出现的错误共有（种），故C正确；
因为，
当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组，
再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法，
当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科，
故有：（种）分法，故共有（种）安排方法，故D错误．
故选：BC
11．若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】令，则，，
令，可得，即，故A正确；
令，可得，故B正确；
由题可知，故C正确；
由，可得
，
令，可得，故D错误.
故选：ABC.
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】∵是增函数，
∴，故A错误；
B：，
，由，有，又是增函数，
∴，正确.
C：令，则，当时是减函数，
∴，即，正确；
D：令，则，当时是减函数，
∴，即，正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X ~N（80，25），如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是___________.（若X ~ N（μ，σ2），则P（μ-σ【答案】0.1587
【解析】.
故答案为： 0.1587.
14.展开式中的系数为________（用数字作答）.
【答案】30
【解析】展开式通项为，，
当时，
由得的系数为，
故的系数为.
故答案为：30.
15. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）
【答案】 ①. 240 ②. 56
【解析】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，
再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.
5个相同小球放入4个盒子，
若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法．
故答案为：240；56．
16．已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________．
【答案】3
【解析】由题，，
因为，对恒成立，
则对恒成立，
令，
则对恒成立，
令，
则，令，
则当时，，所以在上单调递增，
又，，
，当，，则，此时单调递减；
当，，则，此时单调递增，
则，
又，代入，
则整数.
故答案为：3
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．现有大小相同的8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球.
（1）将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？
（2）将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？
（3）现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答)
【答案】（1）432 （2）2880 （3）45
【解析】（1）把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有，
2只不同的红球的排列有，3只不同的白球的排列有，3只不同的黑球的排列有，
故不同的排列的总数为.
（2）先把除黑球外的5只球全排列，共有种，
再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种，
故共有.
（3）取4只球，若各种颜色的球都必须取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，
故不同的取法总数为.
18．2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），...[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/h [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12]
频数 5 10 25 35 15 10
（1）若将频率作为概率从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有2人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率;
（2）现从戴口罩时长在[0，2），[2，4），[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）； （2）分布列见解析，.
【解析】（1）居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时人数为Z，则 ，
则
；
（2）在中分别抽取1，2，5人，
X服从超几何分布，，，
X的分布列为
X 0 1 2
P
所以
19．二项式展开式前三项的二项式系数和为22；
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的常数项．
【答案】（1）6 （2） （3）960
【解析】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22，
∴，
∴，
∴或（舍）
故的值为6
（2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为，
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即
（3）设展开式中常数项为第项，即，
令，则，
∴，
故展开式中的常数项为第5项，即960
20．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）答案见解析 （2）
【解析】（1）因为，
①当时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在单调递减；
②当时，在上恒成立，
当且仅当时，，
所以函数在上单调递增；
③当时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，在单调递减；
综上所述，
当时，函数在上单调递增，在单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在单调递减；
（2）的定义域为，
①当时，在上单调递增，，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
③当时，在上单调递减，
所以
综上．
21．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为
（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）记比三局甲获胜的概率为，则，
比四局甲获胜的概率为，则，
比五局甲获胜的概率为，则，
则甲获胜的概率为，
答：甲胜乙的概率为
（2）若第一轮乙胜，则第二轮由乙丙比赛，若第二轮乙胜，则结束比赛，且概率为；
若第二轮丙胜，则进入第三轮甲丙比赛，必须甲胜，再进入第四轮由甲乙比赛，并且乙获胜结束比赛，且概率为；
若第一轮甲胜，则第二轮由甲丙比赛，必须丙胜，再进入第三轮由丙乙比赛，必须乙胜，再进入第四轮由甲乙比赛，乙获胜，结束比赛，且概率为，
故乙获得冠军的概率为，
答：乙获得冠军的概率为.
22．已知函数，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】（1）当时，，.
因为当时，，则单调递增．
又，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），.当时，，则．
①若，即，则，在上单调递减，，从而在上单调递减，
所以，符合题意.
②若，则当时，，，从而，不合题意．
③若，当时，由，得，即，解得.
则当时，单调增，从而，所以单调递增，
此时，不合题意．
综上分析，的取值范围是期中考试仿真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2．随机变量的分布列如下表所示，且，则( )
0 1 2 3
0.1 0.1
A. B. 0.4 C. 0.2 D. 0
3．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
5．(，且)的展开式中的系数为（ ）
A. 150 B. 165 C. 120 D. 180
6．学校食堂分设有一 二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A. 0.18 B. 0.28 C. 0.42 D. 0.65
7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰 短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.
A. 30 B. 60 C. 90 D. 150
8．已知是函数的导函数且对任意的实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则正整数x的值是1
10．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法
11．若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X ~N（80，25），如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是___________.（若X ~ N（μ，σ2），则P（μ-σ14.展开式中的系数为________（用数字作答）.
15. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）
16．已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．现有大小相同的8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球.
（1）将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？
（2）将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？
（3）现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答)
18．2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），...[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/h [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12]
频数 5 10 25 35 15 10
（1）若将频率作为概率从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有2人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率;
（2）现从戴口罩时长在[0，2），[2，4），[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求X的分布列和数学期望.
19．二项式展开式前三项的二项式系数和为22；
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的常数项．
20．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在区间上的最小值．
21．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为
（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率．
22．已知函数，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
