期中考试仿真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．可表示为（ ）
A. B. C. D.
2．函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
4．已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占的百分比约为（ ）（附：，）
A. 2.38% B. 1.35% C. 0.26% D. 0.15%
5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 3是的极小值点 B. 是的极小值点
C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零
6．设随机变量的分布列为，，则（ ）
A. B. C. D.
7．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 15种
8．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A. 4 B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”，C表示事件“第二次取出的球的数字是奇数”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. B. A与D相互独立 C. B与C是对立事件 D. B与C是互斥事件
12．已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则___________.
14.已知，得___________若，则a=___________.
15. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.
16．为有效阻断新冠肺炎疫情传播除径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有_________（用数字作答）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．若是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数在区间上的最值．
18．从0-9这10个数字取出3个数字，试问：
（1）有多少个没有重复数字的排列方法？
（2）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？
（注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示）
19．2022年是不平凡的一年，新冠疫情严重，苏州地区暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，同学们的学习积极性有所降低，为了提高学生学习积极性和检测教学成果，数学A老师设计了一个答题比赛，把班里的学生分成了两组，男生一组，女生一组，既有合作，又有竞争，老师准备了3道题，先男生组答题，女生组作为后援团．若男生组解答不出，则女生组作为后援团在整个答题过程中有且只有一次机会为男生组主动提供帮助，若女生组解答正确，则男生组也可得分继续答题；若某一题答不对，则答题结束．约定每题得分30分，设男生组每题答对的概率为，女生组每题答对的概率为，且每题是否答对相互独立，男生组、女生组回答正确与否也相互独立．
（1）求男生组能进入第二题答题的概率；
（2）设表示男生组获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望．
20．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)
已知，___________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
21．某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
（1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
（2）已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级 A B C
售价X 30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则，，．
22．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，求a的最小值．期中考试仿真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】总共有个数连乘，故.
故选：B
2．函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，且，
因，可得，令，即，解得，
所以函数的递减区间为.
故选：C.
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】因为，
其中展开式的通项为，
所以展开式中的系数为；
故选：A
4．已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占的百分比约为（ ）（附：，）
A. 2.38% B. 1.35% C. 0.26% D. 0.15%
【答案】D
【解析】因为X服从正态分布，所以，即，所以.
故选：D．
5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 3是的极小值点
B. 是的极小值点
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
【答案】AD
【解析】A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；
D：：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，
故选：AD
6．设随机变量的分布列为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，，
，
由分布列概率之和为1得到，
解得：，
所以
故选：D
7．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 15种
【答案】C
【解析】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法：即种方法，这两组安装吉祥物的方法为，故按要求这五人共有6×2=12种方法.
故选：C.
8．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A. 4 B.
C. D.
【答案】D
【解析】，不等式，
令，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
即，依题意，，
所以实数的最大值为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确；
故选：ACD
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】BCD
【解析】所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故选：BCD
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”，C表示事件“第二次取出的球的数字是奇数”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. B. A与D相互独立 C. B与C是对立事件 D. B与C是互斥事件
【答案】ABD
【解析】由题设，，，
对于D事件的可能组合有共6种，
所以，易知：，，
，A正确；
，A与D相互独立，B正确；
B与C是互斥事件，但不是对立事件，C错误，D正确.
故选：ABD
12．已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由可得，令，其中，
所以，直线与曲线的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
减 极小值 增
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式，其中，且、均为正数.
先证明，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
接下来证明：，其中，即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，所以，，
因为，故，，B错，CD都对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则___________.
【答案】4
【解析】因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，所以此人通过的科目数，
又此人通过的科目数的方差是，所以，解得（舍去），
所以，
故选：C.
14.已知，得___________若，则a=___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】，
在中
令得（1），
令得（2）．
所以
，，又，所以．
故答案为：；．
15. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.
【答案】
【解析】设，因为，
所以是上的减函数，
因为，所以，
因此
所以的解集为.
故答案为：
16．为有效阻断新冠肺炎疫情传播除径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有_________（用数字作答）
【答案】2940
【解析】先把8名医生分成三组，有2，2，4和2，3，3两种情况：.
再把三组分到三个医院，有.
所以一共有种.
故答案为：2940.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．若是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1） （2），
【解析】（1），
由题意知或
时，，
在区间递增；在区间递减，
是的极大值点，符合题意.
时，，
在区间递增；在区间递减，
是的极小值点，不符合题意.
则.
（2）由（1）知，且，单调递增，在单调递减，
又，，，，
则，.
18．从0-9这10个数字取出3个数字，试问：
（1）有多少个没有重复数字的排列方法？
（2）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？
（注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示）
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）从这10个数字取出3个数字排成一列有种．
（2）由题意，第一类：每一位数字都不是0的三位数有个；
第二类：个位数字是0的三位数有个；
第三类：十位数字是0的三位数有个
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数．
（3）由题意，第一类：当个位数字是1时，且百位不能为0的三位数有个；
第二类：当个位数字是3时，且百位不能为0的三位数有个；
第三类：当个位数字是5时，且百位不能为0三位数有个；
第四类：当个位数字是7时，且百位不能为0的三位数有个；
第五类：当个位数字是9时，且百位不能为0的三位数有个；
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数．
19．2022年是不平凡的一年，新冠疫情严重，苏州地区暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，同学们的学习积极性有所降低，为了提高学生学习积极性和检测教学成果，数学A老师设计了一个答题比赛，把班里的学生分成了两组，男生一组，女生一组，既有合作，又有竞争，老师准备了3道题，先男生组答题，女生组作为后援团．若男生组解答不出，则女生组作为后援团在整个答题过程中有且只有一次机会为男生组主动提供帮助，若女生组解答正确，则男生组也可得分继续答题；若某一题答不对，则答题结束．约定每题得分30分，设男生组每题答对的概率为，女生组每题答对的概率为，且每题是否答对相互独立，男生组、女生组回答正确与否也相互独立．
（1）求男生组能进入第二题答题的概率；
（2）设表示男生组获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）记事件A：男生组能进入第二题答题
，
所以男生组能进入第二题答题的概率为.
（2）由（1）知：男生组每题得分的概率为，.
，
，
，
，
分布列
0 30 60 90
数学期望，
20．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)
已知，___________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
【答案】（1）和 （2），，
【解析】（1）二项展开式的通项公式为：
.
若选①，则由题得，
∴，即，
解得或(舍去)，∴.
若选②，则由题得，∴，
展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，
，.
（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：
.
当即时得展开式中的有理项，
所以展开式中所有的有理项为:
，，.
21．某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
（1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
（2）已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级 A B C
售价X 30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则，，．
【答案】（1）84000瓶 （2）能，理由见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：，
由题意，甲厂生产消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，
所以
，
又由，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有84000瓶．
（2）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，，
可得
，
，
所以，
故Y的分布列为：
Y 10 5
P 0.00135 0.8400 0.15865
所以每瓶消毒液的平均利润为：（元），
故生产一年消毒液所获利润为（千万元），
而2.6270（千万元）（千万元），
所以该厂能在一年之内收回投资．
22．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，求a的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）
【解析】（1）：当时，函数，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意，函数，可得，
因为任意的，恒成立，
又由，所以，则，
令 ，则在上单调递增，
因为当时，，所以，
因为，所以，使得，
且当时，，则；
当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，可得，
因为恒成立，可得，即，
结合，得，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
故实数的最小值为.
