第1章一元二次方程单元综合测试题 含答案 苏科版九年级数学上册

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列方程是一元二次方程的为（　　）
A．x+1＝0 B．＝1
C．x2﹣x＝2 D．（x﹣1）2+1＝x2
2．关于x的方程x2﹣6x+k＝0的一个根是2，则k的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣3a+3b的值等于（　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
4．用配方法解方程x2+8x+9＝0，配方后可得（　　）
A．（x+8）2＝73 B．（x+4）2＝25 C．（x+8）2＝55 D．（x+4）2＝7
5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1且a≠0 B．a＜1且a≠0 C．a＜1 D．a＞﹣1
6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．15 D．12或15
7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（　　）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
8．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2 30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．若m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣2m2+5的值是　 　．
10．关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是　 　，方程的另一个根是　 　．
11．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于　 　．
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，且x12+x22＝5，则a＝　 　．
13．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．
16．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程一定有实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
18．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．如图，甲、乙两车分别从正方形广场ABCD的顶点B，C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分，若正方形广场的周长为40km．
（1）几分钟后两车相距2km？
（2）△CEF的面积能否等于7km2，说明理由．
20．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　 　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　 　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A．该方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
C．该方程中含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是2，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．由原方程得到：﹣2x+2＝0，该方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：C．
2．解：把x＝2代入方程x2﹣6x+k＝0得4﹣12+k＝0，
解得k＝8．
故选：D．
3．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b+1＝0，
则a﹣b＝﹣1，
所以原式＝2021﹣3（a﹣b）
＝2021﹣3×（﹣1）
＝2021+3
＝2024，
故选：A．
4．解：x2+8x+9＝0，
x2+8x＝﹣9，
x2+8x+16＝﹣9+16，
（x+4）2＝7，
故选：D．
5．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞﹣1且a≠0．
故选：A．
6．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
7．解：由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：C．
8．解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的解，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴6m﹣2m2+5
＝﹣2（m2﹣3m）+5
＝﹣2×1+5
＝3．
故答案为：3．
10．解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2﹣m﹣m+3＝0，
∴m＝，
将m＝代入方程得4x2+5x+1＝0，
解之得：x＝﹣1或 x＝﹣．
∴方程的另一根为x＝﹣，
故答案为：，．
11．解：设x2+y2＝k
∴（k+1）（k﹣3）＝5
∴k2﹣2k﹣3＝5，即k2﹣2k﹣8＝0
∴k＝4，或k＝﹣2
又∵x2+y2的值一定是非负数
∴x2+y2的值是4．
故答案为：4．
12．解：根据题意得：
Δ＝9﹣4a≥0，
解得：a，
x1+x2＝3，x1x2＝a，
x12+x22
＝﹣2x1x2
＝9﹣2a
＝5，
解得：a＝2（符合题意），
故答案为：2．
13．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
14．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4＝8，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34，
故m的值为34，
故答案为34．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（1）3x2﹣5x+1＝0，
方程整理得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5，
方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，
则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
∴x＝，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
16．（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）
＝m2﹣4m+4+8m
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴方程一定有实数根；
（2）x＝，
∴x1＝1，x2＝﹣，
当整数m取±1，±2时，x2为整数，
∵方程有两个不相等的整数根，
∴整数m为﹣1，1，2．
17．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
18．（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
19．解：（1）设x分钟后两车相距2×km，
此时甲运动到F点，乙运动到E点，
可知：FC＝x，EC＝10﹣2x，
在Rt△ECF中，x2+（10﹣2x）2＝（2）2，
解得：x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，FC＝2，EC＝10﹣4＝6＜10符合题意，
当x＝6时，FC＝6，EC＝10﹣12＝﹣2＜0不符合题意，舍去，
答：2分钟后，两车相距2千米；
（2）△CEF的面积不能等于7km2．
设t分钟后△CEF的面积等于7km2，
∵甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分，
∴CF＝t，CE＝10﹣2t，
∴ t （10﹣2t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×7＜0，
∴此方程无实数根，
∴△CEF的面积不能等于7km2．
20．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．