安徽省滁州市定远县青山初级中学2022-2023学年八年级下学期4月质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年七年级（下）4月质检试卷
数 学
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式于为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，点到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点走到公路，最快到达的路径是( )
A. B. C. D.
3. 已知，是线段上的动点且于，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
4. 若二次根式为常数且在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5. 下面各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
7. 将两个等腰直角三角形与其中，，如图放置在一起，点在上，与交于点，连接，，且下列结论：
垂直平分；
为等边三角形；
；
．
正确的结论是( )
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D.
8. 如图所示，在直角三角形中，，在上截取，作的平分线与交于点，连结若，的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
9. 如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12. 如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ．
13. 如图，中，，点是斜边的中点，连接若，，则 ______ ．
14. 如图，已知等边，点为平面内任意一点，且，，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 分
计算：
；
．
16. 分
如图，，是的两条高线，且它们相交于，是边的中点，连接，与相交于点，已知．
求证；
若平分．
求证：；
若，求的长．
17. 分如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，．
填空：正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______．
求的值．
18. 分
将从开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
第行有 个数；第行有 个数用含的式子表示；
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示．
求表示的数；
求表示的有序数对．
19. 分如图，在的格点图中，为格点三角形，即顶点、、均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹；
请在图中边上找一点，使；
请在图中内部不含边界找一点，使．
20. 分已知：如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，点、分别在边、上，且．
求证：≌；
若，求证：四边形是矩形．
21. 分如图，在南北方向的海岸线上，有，两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号，已知，两船相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上．
求出与之间的距离．
已知距观测点处海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？参考数据：，
22. 分在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为：，面积为的长方形．
求长方形的长和宽；
她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
23. 分如图，正方形的对角线，相交于点，在线段，上各取一点，使得，连接并延长交于点．
试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由．
若，，求的长．
如图，在线段，的延长线上各取一点，，使得，连接并延长交于点请问：中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
【解析】解：取中点，连接，，如图：
，
是直角三角形，
是中点，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的弧，
，，
，
当，，构成三角形时，，即，
当，，共线时，取最小值，最小值即为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
解得：且，
，
原不等式组的解集为，故选：．
5.【答案】
【解析】解：，不是勾股数，不符合题意；
B.，，，不是勾股数，不符合题意；
C.，不是勾股数，不符合题意；
D.，是勾股数，符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：和是等腰直角三角形，
，，
，
，
垂直平分，故结论正确；
垂直平分，
，，
，
，
，
是等边三角形，故结论正确；
，，
，
，
，
在中，，
，故结论正确；
设，
在中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，，
，故结论错误；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，是的平分线，
，
，，
，
的面积为，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
10.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，，
，
．故选：．
11.【答案】且
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
12.【答案】
【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转后，得到，连接、，
根据旋转的性质得，，，，
为等边三角形，
，
，
，
当、、、四点共线时，有最小值，
为等边三角形，
，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得．
的最小值为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，点是斜边的中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，
，，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
当点在线段的延长线上时，有最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
15.【答案】解：原式
；
原式
．
16.【答案】证明：、是的高线，
，
，，
，
，，
≌，
；
证明：，，
，
平分，
，
，
，是边的中点，
，，
为的外角，
，
，
；
解：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，，平分，
，
，
设，则，
，是边的中点，
，
，，
≌，
，
，
，
在中根据勾股定理得：，
即，
，
在中根据勾股定理可得：
，
或舍去．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
四个直角三角形的面积和，
故答案为：；；
由可知四个直角三角形的面积和为，
，解得，
，
．
负值舍去．
18.【答案】
【解析】解：第行有：个数；第行有个数，
故答案为：，；
第行有个数，且最末尾的数是，
而表示第行的第个数，
表示的数是；
，，
，
位于第行，
第行有个数，而与相差个数，
位于第行的第个数，
表示的有序数对是．
19.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
，
即
在与中，
，
≌；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
，
即，
≌；
，
由知≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
21.【答案】解：作于，
设海里，
在中，，
在中，，
，
则，
解得，，
，
，
答：与之间的距离为海里；
作于，
设，则，
，，
，
，
则，
解得，，
，
，
巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险．
22.【答案】解：根据题意设长方形的长为，宽为，
则，
即，
，
，
，
答：长方形的长为，宽为．
设正方形的边长为，根据题意可得，
，
，
，
原来长方形的宽为，
正方形的边长与长方形的宽之差为：，
，
即，
，
所以她的说法正确．
23.【答案】解：，，理由如下：
正方形中，，，
在和，
，
≌，
，，
，
，
，
；
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
；
成立，理由如下：
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
【解析】先证明≌，可得，，从而得到，即可求解；
根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，再由，即可求解；
先证明≌，可得，，从而得到，即可求解．
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