第九章：不等式与不等式组练习题 含解析 2021-2022学年吉林省各地七年级下学期人教版数学期末试题选编

第九章：不等式与不等式组
一、单选题
1．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）下面各数中，是不等式a＜﹣2的解的是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
2．（2022春·吉林松原·七年级统考期末）已知a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．a＋5＞b＋5 B．3a＞3b C．﹣5a＞﹣5b D．
3．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·吉林延边·七年级统考期末）已知点P（2a+4，3a-6）在第四象限，那么a的取值范围是（　 　）
A．-2＜a＜3 B．a＜-2 C．a＞3 D．-2＜a＜2
5．（2022春·吉林白山·七年级统考期末）不等式组的负整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022春·吉林白城·七年级统考期末）一元一次不等式组的解集为，那么a的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）已知关于x的不等式组的解集为x≥11，且关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的m的取值范围是（　　）
A．﹣1＜m＜12 B．﹣1≤m＜12 C．﹣1＜m≤12 D．﹣1≤m≤12
二、填空题
8．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）“y与2的差小于1”用不等式表示为______．
9．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）不等式的正整数解有______个．
10．（2022春·吉林通化·七年级统考期末）的三倍与7的差小于－2，可列出关于的不等式为_________．
11．（2022春·吉林白山·七年级统考期末）在“五四”青年节前，班长李琳在准备爱心捐助活动中，发现班级同学捐赠的一个书包成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打___________折．
三、解答题
12．（2022春·吉林延边·七年级统考期末）下面的不等式解法有错误，按下列要求完成解答：
解不等式：
解：去分母得：------------------①
去括号得：---------------------②
合并同类项得：----------------------------③
解得： -----------------------------------④
(1)以上的解法中从哪一步开始出现了错误______（写出序号即可）
(2)写出正确解答过程并把不等式的解集表示在数轴上．
13．（2022春·吉林松原·七年级校考期末）已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围．
14．（2022春·吉林白城·七年级统考期末）某同学解不等式出现了错误，解答过程如下：
解：移项，得：（第一步）
合并同类项，得≥，（第二步）
系数化为1，得（第三步）
（1）该同学的解答过程在第 步出现了错误，错误原因是 .
（2）写出此题正确的解答过程.
15．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）某商店销售两种玩具，这两种玩具的进价和售价如下表所示：
玩具 进价（元/件） 售价（元/件）
8 10
7 10
该商店计划购进这两种玩具若干件，共需2300元，全部销售后可获毛利润700元．
（1）问该商店计划购进两种玩具各多少件？
（2）通过市场调研，该商店决定在原计划的基础上，减少种玩具的购进数量，增加种玩具的购进数量．已知种玩具增加的数量是种玩具减少数量的1.5倍．如果用于购进这两种玩具的总资金不超过2550元，那么购进种玩具至多减少多少套．
【毛利益=（售价-进价）×销售量】
17．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨．
（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？
（2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台，并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由．
18．（2022春·吉林四平·七年级统考期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（2022春·吉林松原·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组的解满足不等式组．求满足条件的m的整数值．
20．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）解不等式组：．
21．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）我们在数学学习中，经常利用转化的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题．
先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题．
例：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得①或②
解不等式组①，得．
解不等式组②，得．
所以不等式的解集为或．
根据例题方法解决下面问题：
(1)解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①或②___________．
解不等式组①，得___________．
解不等式组②，得___________．
所以不等式的解集为___________．
(2)应用：不等式：的解集为___________．
22．（2022春·吉林白城·七年级统考期末）为降低空气污染，漯河市公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/辆） a b
年均载客量（万人/年/辆） 60 100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.
(1)求a、b的值：
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由.
23．（2022春·吉林延边·七年级统考期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元．则甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金不多于4300元，且销售完这批商品获利多于1260元，商店有哪几种购货方案？哪种购货方案销售利润最大？请说明理由．
24．（2022春·吉林松原·七年级统考期末）销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆.
(1)求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？
(2)若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？
25．（2022春·吉林通化·七年级统考期末）在今年的新冠疫情期间，某小区为居民采购防疫物资，若采购酒精20箱，药物30箱，共需5200元；若采购酒精30箱，药物20箱，共需4800元．
(1)求每箱酒精与每箱药物各多少钱？
(2)该小区计划采购酒精的箱数是药物的2倍，要求采购酒精与药物总箱数不少于60，且总费用低于6000元．请列出该小区采购的所有方案．
参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的解集的定义，即可求解．
【详解】解：A.因为-3＜﹣2，所以-3是不等式a＜﹣2的解，故本选项符合题意；
B.因为-2=-2，所以-2不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
C.因为0＞-2，所以0不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
D.因为1＞-2，所以1不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，也就是说，满足这个不等式的所有解组成解集是不等式的解集是解题的关键．
2．C
【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴a＋5＜b＋5，3a＜3b，﹣5a＞﹣5b，，
即A、B、D错误，C正确，
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．．
3．A
【分析】解不等式，根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【详解】解：∵
∴
在数轴上表示为：
故选A
【点睛】考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．D
【分析】根据点P在第四象限，可知横坐标是正数，纵坐标是负数，从而可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围.
【详解】由题意得： ，
解得：-2＜a＜2，
故选D.
【点睛】本题考查了象限内点的符号特点，解一元一次不等式组，熟知各象限内点的符号特点是解题的关键.
5．A
【分析】首先可求得不等式组的解集，再根据不等式组的解集，即可求得．
【详解】解：由不等式组解得，
不等式组的解集为，
不等式组的负整数解只有-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集及负整数解，熟练掌握和运用求一元一次不等式组的解集及负整数解的方法是解决本题的关键．
6．A
【分析】根据求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可判断，再从选项中找出符合的即可．
【详解】∵一元一次不等式组的解集为，
∴，
故只有A符合，
故选A．
【点睛】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
7．A
【分析】先求出两个不等式的解集，根据关于x的不等式组的解集为x≥11，求出m＜12．再解方程组，得出，根据关于x，y的二元一次方程组的解为正数，得到m＞﹣1，进而求出m的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得x≥11，
解不等式②，得x＞m﹣1，
∵关于x的不等式组的解集为x≥11，
∴m﹣1＜11，
∴m＜12．
解方程组，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，
∴m+1＞0，
∴m＞﹣1，
∴﹣1＜m＜12．
故选：A．
【点睛】此题考查了含参数的一元一次不等式组和二元一次方程，解题的关键是根据不等式组的解集和方程组的解的范围列出含参数m的不等式．
8．y-2＜1
【分析】先表示出y与2的差，然后根据题意即可得出不等式．
【详解】解：根据题意可得：y-2＜1．
故答案为：y-2＜1．
【点睛】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式的知识，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
9．3
【分析】先解不等式，再在解集范围内找出正整数解．
【详解】由
得2x≤6
x≤3
∵x为正整数
∴x=1、2、3
∴不等式的正整数解有3个
故答案为3
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，及不等式的整数解，正确的解不等式是解题的关键．
10．
【分析】根据x的3倍即3x，再与7作差，最后小于-2即可．
【详解】解：由题意可得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解答本题的关键．
11．7
【分析】设该书包打x折时，其利润率不低于5%．根据题意列出一元一次不等式并求解即可．
【详解】解：设该书包打x折时，其利润率不低于5%．
根据题意可得．
解得．
所以该书包最低可以打7折．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键．
12．(1)①
(2)x<4，数轴见详解
【分析】（1）①去分母时第二个式子两边没有加括号，出现错误；
（2）先去分母，然后去括号、合并同类项，最后把系数化为1即可得到不等式的解集，并把解集表示在数轴上．
（1）
（1）∵去分母时第二个式子x+2两边没有加括号，
∴①出现错误，
故选①；
（2）
）解：去分母：2(2x+1)-(x+2)<12，
去括号:4x+2-x-2<12，
合并同类项：3x<12，
解得：x<4，
不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
13．m的取值范围是．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型，要求掌握．
14．（1）三；用错了不等式性质3[或不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变]；（2）过程见解析
【分析】（1）根据不等式的性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得第三步错误；
（2）根据不等式的性质解不等式即可．
【详解】（1）三；用错了不等式性质3[或不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变]；
（2）移项，得≥，
合并同类项，得≥，
系数化为1，得≤．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
15．，不等式的解集在数轴上表示见解析
【分析】根据一元一次不等式的解题步骤进行解答，最后将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并，得.
系数化为1，得.
不等式的解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟悉一元一次不等式的解题步骤．
16．（1）该商店计划购进A种玩具200件，B种玩具100件；（2）购进A种玩具至多减少100件
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，然后根据加减消元法解方程组即可；
（2）设购进A种玩具减少a件，然后根据A单价（200-a）+B单价（100+1.5a）2550带入数值，解不等式即可．
【详解】（1）设该商店计划购进A种玩具x件，B种玩具y件.
根据题意，得
解得：
答：该商店计划购进A种玩具200件，B种玩具100件．
（2）设购进A种玩具减少a件.
根据题意，得
解得a≤100.
答：购进A种玩具至多减少100件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，在解不等式时，要注意负号和不等号的变号问题．
17．（1）A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨；（2）方案①买A设备0台，B设备20台；方案②买A设备1台，B设备19台；方案③买A设备2台，B设备18台；（3）方案②费用最少，理由见解析
【分析】（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设购买A设备m台，根据日处理能力不低于235吨，列出不等式，求出整数解，从而可得方案；
（3）分别计算出三种方案对应的费用，再比较即可．
【详解】解：（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，
由题意可得：，
解得：，
∴A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨；
（2）设购买A设备m台，则B设备（20-m）台，
∴10m+12（20-m）≥235，
解得：m≤，
∵m为非负数，
∴m=0或1或2，则一共有3种方案：
方案①买A设备0台，B设备20台；
方案②买A设备1台，B设备19台；
方案③买A设备2台，B设备18台；
（3）方案①：20×7=140＞137，
则实际付款：140×95%=133（万元）；
方案②：1×5+7×19=138＞137，
则实际付款：138×95%=131.1（万元）；
方案③：2×5+18×7=136＜137，
则实际付款136万元；
131.1＜133＜136，
∴方案②最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式．
18．，图见解析．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
数轴表示如图：
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记解题步骤是解题关键：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．
19．－3，－2.
【分析】首先根据方程组可得y=，把y=代入①得：x=m+，然后再把x=m+，y=代入不等式组中得，再解不等式组，确定出整数解即可．
【详解】①×2得：2x-4y=2m③，
②-③得：y=，
把y=代入①得：x=m+，
把x=m+，y=代入不等式组中得：
，
解不等式组得：-4≤m≤-，
则m=-3，-2．
【点睛】考点：1.一元一次不等式组的整数解；2.二元一次方程组的解．
20．．
【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
详解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式的解集为．
点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
21．(1) ， ，无解，；
(2)或
【分析】（1）仿照例题的方法，进行计算即可；
（2）仿照例题的方法，利用有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，进行计算即可．
【详解】（1）解：由有理数的乘法原则“两数相乘，异号得负”，得
或
解不等式组，得
解不等式组，得无解
不等式的解集为
故答案为 ， ，无解，
（2）解：由有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，得
或
解不等式组，得
解不等式组，得
故答案为或
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握例题的方法是解题关键．
22．(1)a=100，b=150
(2)A型公交车8辆，B型公交车2辆
【分析】（1）根据表格中条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，可列出对应的一元一次不等式组，解得，可知x取值为：6、7、8，分别对三种情况求值比较即可．
【详解】（1）解：由题意列方程组为：，
解得：；
（2）总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下，
设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，
根据题意列不等式组为：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x取值为：6、7、8，
当时，购买总费用为：（万元），
当时，购买总费用为：（万元），
当时，购买总费用为：（万元），
即时，费用最少，此时，
答：总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【点睛】本题要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，关键在于找到对应的 等量关系，列出正确的方程组，同时也要注意本题需要对多种情况进行求值比较．
23．（1）应购进甲种商品100件，乙种商品60件；（2）商店共同3种购货方案，方案1：购进甲种商品65件，乙种商品95件；方案2：购进甲种商品66件，乙种商品94件；方案3：购进甲种商品67件，乙种商品93件．方案1的销售利润最大，理由见解析．
【分析】（1）设应购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据“购进甲、乙两种商品共160件，且全部销售完能获利1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出购进甲、乙两种商品的数量；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（160-m）件，根据“投入资金不少于4300元，且销售完批商品获利多于1260元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购货方案，利用销售总利润=每件的销售利润×销售数量，可分别求出各方案可获得的销售利润，比较后可得出购货方案1销售利润最大．
【详解】解：（1）设应购进甲种商品x件，乙种商品y件，
依题意得：，
解得：．
答：应购进甲种商品100件，乙种商品60件；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（160﹣m）件，
依题意得：，
解得：65≤m＜68．
又∵m为正整数，
∴m可以为65，66，67，
∴商店共同3种购货方案，
方案1：购进甲种商品65件，乙种商品95件；
方案2：购进甲种商品66件，乙种商品94件；
方案3：购进甲种商品67件，乙种商品93件．
方案1的销售利润最大，理由如下：
方案1的销售利润为（20﹣15）×65+（45﹣35）×95＝1275（元）；
方案2的销售利润为（20﹣15）×66+（45﹣35）×94＝1270（元）；
方案3的销售利润为（20﹣15）×67+（45﹣35）×93＝1265（元）．
∵1275＞1270＞1265，
∴购货方案1销售利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（1）所以A型轿车每辆150000元，B型轿车每辆100000元.（2）有三种购车方案，在这三种购车方案中，购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆，获利最多．
【详解】解：（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元．
根据题意得， 解得，
答：A、B两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元；
（2）设购进A种型号轿车a辆，则购进B种型号轿车（30-a）辆．
根据题意得
解此不等式组得18≤a≤20．
∵a为整数，
∴a=18，19，20．
∴有三种购车方案．
方案一：购进A型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆；
方案二：购进A型号轿车19辆，购进B型号车辆11辆；
方案三：购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆．
汽车销售公司将这些轿车全部售出后：
方案一获利18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；
方案二获利19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；
方案三获利20×0.8+10×0.5=21（万元）．
答：有三种购车方案，在这三种购车方案中，购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆，获利最多．
25．(1)每箱酒精120元，每箱药物80元
(2)共有两种方案．方案一：采购药物20箱，酒精40箱．方案二：采购药物21箱，酒精42箱．
【分析】（1）设每箱酒精元，每箱药物元．根据“采购酒精20箱，药物30箱，共需5200元；若采购酒精30箱，药物20箱，共需4800元”，列出方程组求解；
（2）设采购药物箱，则采购酒精箱，根据“采购酒精的箱数是药物的2倍，要求采购酒精与药物总箱数不少于60，且总费用低于6000元”列出不等式组求解．
（1）解：设每箱酒精元，每箱药物元．根据题意得，解得．答：每箱酒精120元，每箱药物80元．
（2）解：设采购药物箱，则采购酒精箱．．解得．∵为整数，∴共有两种方案．方案一：采购药物20箱，酒精40箱．方案二：采购药物21箱，酒精42箱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．