第六章6.3实数同步练习 含解析 2022——2023学年下学期部编版七年级数学下

第六章6.3实数同步练习
2022——2023学年下学期部编版七年级数学下
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果、分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
3．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”即 （a为勾，为股，为弦），若“勾”为，“股”为，则“弦”最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
4．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知，下列结论错误的是（ ）
A．是负数 B．是27的立方根
C．是无理数 D．是7的算术平方根
6．下列关于数轴的叙述，正确的有（ ）个
（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
（2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1；
（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间；
A．0 B．1 C．2 D．3
7．由条件：①，②，③，④中，能得出结论的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②④
8．已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
9．定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
10．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A． B． C．2 D．3
12．如图是一个的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则可以是（　　）
A． B． C．0 D．
13．如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
14．若，，，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
15．若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．4041 D．1
二、填空题
16．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
17．如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为_________．
18．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为______．
19．已知、是有理数，且、满足，则______．
20．对于任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：
（1）对64只需进行________次操作后变为1．
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
三、解答题
21．计算
(1)
(2)
22．计算下列各题
(1)
(2)
23．阅读材料，解答下面的问题：
∵，即，
∴的整数部分为，小数部分为．
(1)求的整数部分．
(2)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
24．知识链接：
①对于任意两个实数，，如果，那么；如果，那么；如果，那么；
②任意实数的平方都是非负数，即．
知识运用：
(1)比较大小： ______；
(2)已知为实数，，，请你比较、的大小；
(3)已知、均为正数，比较与的大小．
25．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5
(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】小数的组成包括整数部分和小数部分，根据无理数值的大小的估算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴，即，
∴的整数部分是，则小数部分是，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法以及实数的运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】根据无理数的定义、实数的运算、立方根与平方根、倒数的定义逐个判断即可得．
【详解】解：一个无理数的相反数一定是无理数，则说法①正确；
一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如，则说法②错误；
一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，则说法③正确；
实数的倒数是，则说法④错误；
综上，正确的说法有①③，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根、倒数，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
3．D
【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算术平方根的性质估计其最接近的整数．
【详解】解：依题意“弦”为，
而，
“弦”最接近的整数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理进行计算，同时也利用了算术平方根的性质估计无理数的大小．
4．D
【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
5．B
【分析】通过实数的运算以及负数、立方根、平方根、无理数的定义逐项判断．
【详解】A．的平方是7，3的平方是9,7比9小，因此，为负数，A项正确；
B．27的立方根是3，题中由得不是27的立方根，B项错误；
C．将平方得是无理数，C项正确；
D．题中由得，是7的算术平方根，D项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了负数、无理数、立方根、算术平方根的概念，充分理解这些概念是解答本题的基础．
6．A
【分析】（1）先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，再比较即可；
（2）由题意可知数m和数m+2相等或是互为相反数，进而求出答案；
（3）根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）由数轴可得：-1＜m＜0＜2＜n＜3，且|m|＜|n|．
∴， -2＜2m＜0，
∴，
故（1）错误；
（2）由题意得：|m|=|m+2|，
∴m=m+2或m=-（m+2），
∴m=-1．
故（2）错误；
（3）由数轴可知：c＜0，b=5，|c|＜5，|d-5|=|d-c|，
∴BD=CD，
∴D点介于O、B之间，
故（3）错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，比较简单，因为是选择题故可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
7．D
【分析】根据算术平方根的概念，立方根的概念以及乘方的意义进行解答．
【详解】解：时，，①正确；
时，，②正确；
时，，③错误；
时，，④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握算术平方根的概念、立方根的概念以及乘方的意义解题是解题的关键．
8．A
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，
∵2021÷3＝673…2，
∴这一列数中的第2021个数应是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
9．C
【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
10．D
【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
11．A
【分析】先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵是“相随数对”，
∴，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
12．D
【分析】求出=，根据每行、每列的两数和相等可求出a的值，再根据各个选项的结果进行判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
则，
解得：，
而
故选：D．
【点睛】本题考查立方根、绝对值以及有理数的加法，理解立方根、绝对值的意义，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．
13．B
【分析】先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，，
∴，
又∵点C在点A的左边，
∴点C表示的数为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
14．A
【分析】先估算出和的值的范围，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
15．D
【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．
16．
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
17．
【分析】根据程序将代入进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，理解题意是解题的关键．
18．
【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，从而可求得的值．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故的值为．
故答案为：．
【点睛】考查了无理数大小的估算，估算出的范围是解题的关键，对算术平方根的估算常用方法是最与它相邻的两个完全平方数分别是几的平方．
19．或10
【分析】把化成，根据、是有理数，得到的值为有理数，即为有理数，故，求出，再求得即可求解．
【详解】解：，
，
，
、是有理数，
的值为有理数，
为有理数，
，
解得，
，
解得，
或，
故答案为：或10．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用有理数的定义进行求解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．
【分析】（1）根据题意对64进行计算即可得出答案．
（2）根据题意对256进行计算即可得出答案．
【详解】解：（1）依题可得，，
∴对64只需进行3次操作后变为1．
故答案为：3．
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
∵，，，，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解新定义是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．
（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
23．(1)的整数部分为
(2)
【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分；
（2）首先确定出的小数部分，进而得出的值，再确定出的小数部分，进而得出的值，然后把和的值代入，计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为．
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为，的小数部分为，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，的小数部分为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根的整数部分和小数部分、代数式求值，解本题的关键是能够正确得到无理数的整数部分和小数部分．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先作差，再比较大小；
（2）先作差，再变形判断差的正负，再比较大小；
（3）先作差，判断分子，分母的正负，再判断大小．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：．
（2）解：
，
，
，
，
．
（3）解：，
，都是正数，
，
，
，
．
【点睛】本题考查比较代数式的大小，作差后判断差的正负是求解本题的关键．
25．(1)2.65
(2)2.646
(3)
【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；
（2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；
（3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴＞2.6，设＝2.6＋r，
如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，
∴，
∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7，
∴r≈0.05，即≈2.65；
（2）∵，
∴＞2.64，设＝2.64＋r，
如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，
∴，
∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7，
∴r≈0.006，即≈2.646；
（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m
∴设，
如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，
∴，
∵r2较小故略去，得，
∴，
∵b＝n2＋m，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式．
答案第1页，共2页
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