第三讲 数列求和
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知,求数列的前项和.
2.已知,求数列的前项和.
3.已知,求数列的前项和.
课中讲解
一.会判断并解决分组法求和LV.4
适用于通项公式为“等差+等比”或“等比+等比”等形式的数列,可使用分组法求和.
例1:
已知等比数列满足,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若,求数列的前项和公式.
例2:
设等差数列的前项和为,公差,,已知成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
过关检测（10mins）
1.在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
2.已知数列是等比数列,满足,数列满足,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
二.会判断并解决裂项相消法求和LV.4
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项:
（1）,;
（2）,;;
（3）若是公差为的等差数列,则;
适用于分式且分组是乘积的形式,可使用裂项相消求和.例如
例1:
已知数列是公差不为0的等差数列,若,且成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）若,求数列的前项和.
例2:
已知等差数列的首项,公差,前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:.
过关检测（10mins）
1.已知数列是公差不为的等差数列,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列的前项和为,求证:.
2.数列的前项和为,且满足.
（Ⅰ）求与的关系式,并求的通项公式;
（Ⅱ）求和.
三.会判断并解决错位相减法求和LV.4
针对数列或的数列求和应用此法,其中是等差数列,是等比数列.
例1:
已知数列的前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,,
（i）证明:数列为等差数列; （ii）求数列的前项和.
过关检测（10mins）
1.已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
（Ⅰ）求和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前n项和.
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,求的前项和.
2.已知等比数列满足,.
（Ⅰ）求的通项公式及前项和;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
巩固练习（20mins）
1.已知等差数列的通项公式为,各项都是正数的等比数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
2.已知等差数列的前项和满足
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
拔高练习（20mins）
1.设为数列的前项和,（为常数,）.
（Ⅰ）若,求的值;
（Ⅱ）是否存在实数,使得数列是等差数列？若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
（Ⅲ）当时,若数列满足,且,令.求数列的前项和.
2.已知等差数列的前项和为,公差,且,成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设为首项为,公比为的等比数列,求数列的前项和.第三讲 数列求和
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知,求数列的前项和.
【答案】
【解析】
即+
即
2.已知,求数列的前项和.
【答案】
【解析】∵
∴
3.已知,求数列的前项和.
【答案】
【解析】
∴
∴
∴
课中讲解
一.会判断并解决分组法求和LV.4
适用于通项公式为“等差+等比”或“等比+等比”等形式的数列,可使用分组法求和.
例1:
已知等比数列满足,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若,求数列的前项和公式.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,则由,得:
,两式相比,解得,
∴数列的通项公式为:
（Ⅱ）
易知数列是以为首项,以为公比的等比数列
所以的前项和
例2:
设等差数列的前项和为,公差,,已知成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）依题意,
解得
因此,即
（Ⅱ）依题意,
过关检测（10mins）
1.在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为,因为,解得
所以数列的通项公式为,即
（Ⅱ）
因为数列是首项为,公差为的等差数列
数列是首项为,公比为的等比数列
所以
化简得
2.已知数列是等比数列,满足,数列满足,且是等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】,;
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,由题意得,解得
所以
设等差数列的公差为
所以
即
解得
所以
从而
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
数列的前项和为,数列的前项和为
所以数列的前项和为
二.会判断并解决裂项相消法求和LV.4
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项:
（1）,;
（2）,;;
（3）若是公差为的等差数列,则;
适用于分式且分组是乘积的形式,可使用裂项相消求和.例如
例1:
已知数列是公差不为0的等差数列,若,且成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）若,求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设的公差为
因为成等比数列,所以
即,即
又,且,解得
所以有
（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
则
即
例2:
已知等差数列的首项,公差,前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求证:.
【答案】;略
【解析】（Ⅰ）因为等差数列中,,公差
所以
则
（Ⅱ）因为
所以
所以
过关检测（10mins）
1.已知数列是公差不为的等差数列,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列的前项和为,求证:.
【答案】;略
【解析】（Ⅰ）设的公差为
因为成等比数列,所以,即
化简得,即
又,且,解得
所以有
（Ⅱ）由（Ⅰ）得:
所以
因此,
2.数列的前项和为,且满足.
（Ⅰ）求与的关系式,并求的通项公式;
（Ⅱ）求和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）;两式相减得:
（Ⅱ）
三.会判断并解决错位相减法求和LV.4
针对数列或的数列求和应用此法,其中是等差数列,是等比数列.
例1:
已知数列的前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,,
（i）证明:数列为等差数列; （ii）求数列的前项和.
【答案】;略,
【解析】（Ⅰ）因为数列的前项和
所以
因为时,,也适合上式
所以
（Ⅱ）（i）证明:当时,,将其变形为,即
所以数列是首项为,公差为2的等差数列
（ii）解:由（i）得,
所以
因为
所以
两式相减得
整理得
过关检测（10mins）
1.已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
（Ⅰ）求和的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前n项和.
【答案】,;
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为,等比数列的公比为
由已知,得,而,所以
又因为,解得
所以,
由,可得①
由,可得②
联立①②,解得,,由此可得
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为
（Ⅱ）解:设数列的前项和为
由,,有
故
上述两式相减,得
得
所以,数列的前项和为
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,求的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为
∵是和的等差中项
∴
∴
∴
（Ⅱ）
2.已知等比数列满足,.
（Ⅰ）求的通项公式及前项和;
（Ⅱ）设,求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为
因为,且
所以,得
又因为,所以,得,
所以
所以
（Ⅱ）因为,所以
所以
所以数列的前项和
巩固练习（20mins）
1.已知等差数列的通项公式为,各项都是正数的等比数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为
解得,所以
（Ⅱ）等差数列的前项和为
等比数列的前项和为
所以数列的前项和
2.已知等差数列的前项和满足
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）设的公差为,则
由已知可得
解得
故的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝
从而数列的前n项和为
＝
拔高练习（20mins）
1.设为数列的前项和,（为常数,）.
（Ⅰ）若,求的值;
（Ⅱ）是否存在实数,使得数列是等差数列？若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
（Ⅲ）当时,若数列满足,且,令.求数列的前项和.
【答案】或;不存在;
【解析】（Ⅰ）因为
所以,,
由可知:
所以,,
因为
所以
所以或
（Ⅱ）假设存在实数,使得数列是等差数列,则
由（Ⅰ）可得:
所以,即,矛盾
所以不存在实数,使得数列是等差数列
（Ⅲ）当时,
所以,且
所以,即
所以,且
所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列
所以
因为,且
所以
当时,上式仍然成立
所以
因为
所以
因为
所以
2.已知等差数列的前项和为,公差,且,成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设为首项为,公比为的等比数列,求数列的前项和.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）依题意,得
解得
所以,即
（Ⅱ）,
①
②
①－②得
所以
