第四讲 导数极值
问题层级图
目标层级图
课前检测（15mins）
1.求函数极值;
2. 已知函数(,为自然对数的底数).求函数的极值.
3.已知函数,，若在处取得极值,求的值;
课中讲解
极值的几何意义LV.3
例1:
函数的极值点_________
例2:
已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
过关检测（10mins）
1.在上定义运算（、为实常数）.记令.如果在处有极值试确定、的值。
求不含参数的函数的极值LV.4
适用于不含参数的函数.
例1
的极值.
例2:
求函数的极值.
例3：
已知函数，求函数的极大值.
例4：
已知函数.求证：1是函数的极值点.
过关检测（15mins）
1.求函数的极值
2.求函数的极值.
3.已知函数.设,求函数的极值.
三．会讨论含参函数的极值LV.4
例1:
设函数.求的极值.
过关检测（15mins）
已知函数.求的极值；
2. 已知函数（）求证:1是的唯一极小值点;
四．会已知极值求参数LV.4
例1:
已知函数,.若在处取得极小值,求的值;
例2：
已知函数,其中实数. 判断是否为函数的极值点,并说明理由.
例3：
设函数.若在处取得极小值,求的取值范围.
例4：
已知函数.设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围.
例5
已知函数.设函数,求证:当时,在上存在极小值.
例6：
已知函数,其中，记的导函数为．当时,证明:存在极小值点,且．
过关检测（15mins）
1.已知函数。求的极值;
2. 已知函数.若函数在上有极值,求的取值范围.
课后练习
补救练习（6mins）
1. 已知函数,其中为实数,若在处取得极值,则.
2. 已知函数，若函数在区间上仅有一个极值点，求实数的取值范围；
巩固练习（30mins）
1. 已知函数(),.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）当时,若函数在区间内存在唯一的极值点,求的值.
2.求函数的极值．
3. 已知函数，设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.
4. 已知函数,.若函数在区间上无极值,求的取值范围.
拔高练习（30mins）
1. 已知函数，其中．若存在极小值和极大值，证明：的极小值大于极大值．
2. 已知函数.证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0.
3. 已知函数.若在内有极值,试求的取值范围.
4. 已知函数（为自然对数的底数）.已知函数在处取得极小值,不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围.
5.已知函数． 当时，设在处取到极值，记．，，，判断直线、、与函数的图象各有几个交点（直接写出答案）.
6. 对于函数,若存在实数满足,则称为函数的一个不动点.已知函数,其中.
（Ⅰ）当时,
（i）若存在既是的极值点,又是的不动点,求的值;
（Ⅱ）若有两个相异的极值点,,试问:是否存在,,使得,均为的不动点？证明你的结论.
7.函数,.设有两个极值点,试讨论过两点,的直线能否过点.若能,求的值;若不能,说明理由.第四讲 导数极值
问题层级图
目标层级图
课前检测（15mins）
1.求函数极值;
【答案】极小值
【解析】令,即解得。
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,无极大值。
2. 已知函数(,为自然对数的底数).求函数的极值.
【答案】当时,函数无极小值.
当,在处取得极小值,无极大值.
【解析】,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值
3.已知函数,，若在处取得极值,求的值;
【答案】
【解析】定义域为
,因为函数在处取得极值，所以有,
解得
经检验当在处取得极小值，符合题意。
课中讲解
极值的几何意义LV.3
例1:
函数的极值点_________
【答案】
【解析】
（两个）（一个）
例2:
已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】
（两个） （一个）又因为是偶函数，所以，所以也是一个极值点。
过关检测（10mins）
1.在上定义运算（、为实常数）.记令.如果在处有极值试确定、的值。
【答案】
【解析】依题意
得 或
若
，递减，无极值。
若
，直接讨论知，在处极大值，
所以
求不含参数的函数的极值LV.4
适用于不含参数的函数.
的极值.
【答案】极大值为，极小值为
【解析】定义域
令
（0，1） 1 （1，2） 2
+ 0 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值
例2:
求函数的极值.
【答案】极小值为，无极大值
【解析】
，或
在递减，在递增。
所以极小值为
无极大值
例3：
已知函数，求函数的极大值.
【答案】极大值
【解析】
令得或（舍）
随的变化情况如下表：
0
极大值
所以当时，取得极大值
例4：
已知函数.求证：1是函数的极值点.
【答案】1是函数的极值点.
【解析】的定义域为
由得
当时，，，,故在上单调递增；
当时，，，，故在上单调递减；
所以1是函数的极值点.
过关检测（15mins）
1.求函数的极值
【答案】有极大值，无极小值.
【解析】.
令,得
因为,所以
与在区间上的变化情况如下:
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
有极大值，无极小值.
2.求函数的极值.
【答案】极小值,无极大值.
【解析】函数定义域为
求导，得
令,解得.
当变化时，与的变化情况如下表所示:
极小值
所以函数的单调增区间为,单调减区间为
所以函数有极小值,无极大值.
3.已知函数.设,求函数的极值.
【答案】的极小值为,无极大值.
【解析】,函数定义域为:
,
极小值
故的极小值为,无极大值.
三．会讨论含参函数的极值LV.4
例1:
设函数.求的极值.
【答案】在处取得极小值.
【解析】由
所以的定义域为
令解得
与在区间上的情况如下:
所以,的单调减区间为,单调增区间为.
在处取得极小值.
过关检测（15mins）
已知函数.求的极值；
【答案】
【解析】当时，令恒成立，所以函数无极值
当时，令=0，解得
+ 0 -
2. 已知函数（）求证:1是的唯一极小值点;
【解析】
（）
设,则
故在是单调递增函数,
又,故方程只有唯一实根
当变化时,,的变化情况如下:
1
极小值
故在时取得极小值,即1是的唯一极小值点.
四．会已知极值求参数LV.4
例1:
已知函数,.若在处取得极小值,求的值;
【答案】
【解析】
由在处取得极小值,得
所以(经检验适合题意)
例2：
已知函数,其中实数. 判断是否为函数的极值点,并说明理由.
【答案】是函数的极值点，且为极小值点.
【解析】
解：（I）由可得函数的定义域为
令可得
因为，所以
①当时，，所以，随的变化如下：
极小值
②当时，，，随的变化如下：
极大值 极小值
综上，是函数的极值点，且为极小值点.
例3：
设函数.若在处取得极小值,求的取值范围.
【答案】
【解析】（i）当时,令,
0
极大值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
（ii）当时,令
极小值 极大值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
（iii）当时
（1）当时,即时
极大值 极小值
所以,当时,取极小值,符合题意.
（2）当时,即时,,单调递增,
所以无极值,不符合题意.
（3）当时,即时.
极大值 极小值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
综上所述:
例4：
已知函数.设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围.
【解析】（1）当时,由,函数在上为减函数,
所以不存在极值点;
（2）当时, 此时.
令,解得或,
但,所以当,,时,函数为减函数,
在上为增函数,在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点,则,
解得或,
所以.
综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.
例5
已知函数.设函数,求证:当时,在上存在极小值.
【解析】由及题设得,
由可得,由(Ⅱ)可知函数在上递增,
所以,
取,显然,,所以存在满足,即存在满足,
所以在区间上的情况如下:
0
极小值
所以当时,在上存在极小值.
例6：
已知函数,其中，记的导函数为．当时,证明:存在极小值点,且．
【答案】存在极小值点,且．
【解析】．
则
所以．
因为,
所以与同号．
设,则．
所以对任意,有,
故在单调递增．
因为,所以 ,,
故存在,使得．
过关检测（15mins）
1.已知函数。求的极值;
【解析】.
令, 得.
①当时,与符号相同,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小
②当时,与符号相反,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小
综上,在处取得极小值
2. 已知函数.若函数在上有极值,求的取值范围.
【解析】
（ⅰ）当时,对于任意,都有
所以函数在上为增函数,没有极值,不合题意
（ⅱ）当时,令,则.
所以在上单调递增,即在上单调递增,
所以函数在上有极值,等价于
所以所以.
所以的取值范围是
课后练习
补救练习（6mins）
1. 已知函数,其中为实数,若在处取得极值,则.
【答案】
【解析】本题考查导数的意义
由又
则
2. 已知函数，若函数在区间上仅有一个极值点，求实数的取值范围；
【解析】因为，所以，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，没有极值点，不符合题意；
当时，令得，
当变化时，与的变化情况如下表所示：
(-∞,) (,) (,+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因为函数在区间，仅有一个极值点，
所以所以.
巩固练习（30mins）
1. 已知函数(),.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）当时,若函数在区间内存在唯一的极值点,求的值.
【解析】（Ⅰ）由已知得,.
（ⅰ）当时,恒成立,则函数在为增函数;
（ⅱ）当时,由,得;由,得;
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.……4分
（Ⅱ）因为,
则.
由（Ⅰ）可知,函数在上单调递增,在上单调递减.
又因为,,所以在上有且只有一个零点.
在上,单调递减;在上,单调递增.
所以为极值点,此时.又,,
所以在上有且只有一个零点.
在上,单调递增;在上,单调递减.
所以为极值点,此时.综上所述,或.
2.求函数的极值．
【答案】若,没有极值点.
若,函数有极小值为
【解析】,
（1）若,则在区间上,单调递增.所以当时,的单调递增区间为,没有极值点.
（2）若,令,即,解得,
因为函数在区间是递增函数,
所以在区间内,单调递减;在区间内,单调递增.
所以当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为所以当时,函数有极小值为
3. 已知函数，设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.
【解析】,
因为
所以令,只需
设,
若在区间上有两个极值点,则在区间上有两个零点
要使在区间上有两个零点,的唯一根必须在区间
所以令,得,且
解得:
4. 已知函数,.若函数在区间上无极值,求的取值范围.
【解析】因为,所以.
若,则.此时在上单调递减,满足条件.
若,令得.
(ⅰ)若,即,则在上恒成立.
此时在上单调递减,满足条件.
(ⅱ)若,即时,由得;
由得:.
此时在上为增函数,在上为减,不满足条件.
(ⅲ)若,即.则在上恒成立.
此时在上单调递减,满足条件.
综上,.
拔高练习（30mins）
1. 已知函数，其中．若存在极小值和极大值，证明：的极小值大于极大值．
【解析】．
① 当时，恒成立，
函数在区间和上单调递增，无极值，不合题意．
② 当时，令，整理得 ．
由 ，
所以，上述方程必有两个不相等的实数解，，不妨设．
由 得 ．
，的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以，存在极大值，极小值．
．
因为 ，且，
所以 ，，
所以 ．
所以 的极小值大于极大值．
2. 已知函数.证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0.
【解析】因为,所以在区间上是单调递增函数.
因为,,
所以,使得.
所以,;,,
故在上单调递减,在上单调递增,
所以有极小值.
因为,
所以.
设,,
则,
所以,
即在上单调递减,所以,
即,所以函数的极小值大于0.
3. 已知函数.若在内有极值,试求的取值范围.
【解析】若在内有极值,则在内有解.
解法一：
令.
令
(1)当时，恒成立，则递增。
所以 在无零点，不符合题意。
(2)当时，
当时，在单增。根据（1）得，不符合题意
当时，即,在区间递减。要使在上有零点则
所以
当时，即 在区间单调递减，在单调递增。要使在上有零点则 即 矛盾舍去。
综上所述
解法二：
令.
设,,
所以, 当时,恒成立,
所以单调递减.
又因为,又当时,,
即在上的值域为,
所以当时,有解.
设,则,,
所以在单调递减.
因为,,
所以在有唯一解.
所以有:
0
0
极小值
所以当时,在内有极值且唯一.
当时,当时,恒成立,单调递增,不成立.
综上,的取值范围为.
4. 已知函数（为自然对数的底数）.已知函数在处取得极小值,不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围.
【解析】由题意知,得,经检验此时在处取得极小值,
∵,∴在上有解,即,
使成立,即使成立,
∴,令,,
∴在上单调递减,在上单调递增,
,∴,
5.已知函数． 当时，设在处取到极值，记．，，，判断直线、、与函数的图象各有几个交点（直接写出答案）.
【解析】直线与的图象的交点个数是个；
直线与的图象的交点个数是个；
直线与的图象的交点个数是个．
6. 对于函数,若存在实数满足,则称为函数的一个不动点.已知函数,其中.
（Ⅰ）当时,
（i）若存在既是的极值点,又是的不动点,求的值;
（Ⅱ）若有两个相异的极值点,,试问:是否存在,,使得,均为的不动点？证明你的结论.
【解析】（Ⅰ）的定义域为,且.
当时,.
（ⅰ）①当时,显然在上单调递增,无极值点.
②当时,令,解得.
和的变化情况如下表：
↗ ↘ ↗
所以,是的极大值点;是的极小值点.
（ⅱ）若是的极值点,则有;
若是的不动点,则有.
从上述两式中消去,
整理得.
设.
所以,在上单调递增.
又,所以函数有且仅有一个零点,
即方程的根为,
所以.
（Ⅱ）因为有两个相异的极值点,,
所以方程有两个不等实根,,
所以,即.
假设存在实数,,使得,均为的不动点,则,是方程
的两个实根,显然,.
对于实根,有.①
又因为.②
①②,得.
同理可得.
所以,方程也有两个不等实根,.
所以.
对于方程,有,
所以,即,
这与相矛盾！
所以,不存在,,使得,均为的不动点.
7.函数,.设有两个极值点,试讨论过两点,的直线能否过点.若能,求的值;若不能,说明理由.
【答案】不存在这样的.
【解析】由已知有两个极值点,即存在两个不同实数根,即
,解得,由韦达定理：.
假设的直线能过点,则,
即,
即,
也就是,
代入得,
即,
即,
消去,把代入得,
即,
将代入得,解得.
又因为,所以不可取.
综上,不存在这样的.
