第一讲 三角函数基础知识
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.给出下面四个命题：
①终边相同的角相等， ②第一象限的角都是正角，
③小于的角是锐角，④钝角是第二象限的角，
其中正确命题的序号是_______________．
2.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是.
3.若，且的终边过点，则是第_____象限角，_____.
4.
A. B. C. D.
5.设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
A.； B.； C.； D.；
.
6.已知角为第四象限的角,,则
A. B. C. D.
D
7. 若,则等于
A. B. C. D.
课中讲解
会任意角的概念与表示LV.2
1.正角、负角、零角：
(1)正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
(2)负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
(3)零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
2.象限角与轴线角：
（1）象限角：在直角坐标系中，使角的顶点于原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
例：第一象限角或
（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角例：终边落在轴上的角： 或
例1．设为锐角，为小于的角，为第一象限角，
为小于的正角，则下列等式中成立的是
A. B. C. D.
例2.若的终边与角的终边相同，在内写出终边与角的终边相同的角
例3.已知,求的范围
过关检测（2mins）
1.下面四个命题中正确的是（ ）
A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限角
二．会弧度制与角度制的转化及其应用LV.2
1.弧度制：
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角．
(2)弧度与角度的换算:
， ， ．
2.弧长与扇形面积公式:
弧长公式： 扇形面积公式：
例1.
下列命题中，真命题的是
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧长；
B.一弧度是长度为半径长得弧；
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和；
D.一弧度是长度等于半径长得弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
例2.
半径为的圆内，弧长为的弧所对的圆心角的度数为______．
过关检测（2mins）
1.若，则角的终边在（ ）．
A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
三.会三角函数定义及三角函数线LV.2
1.定义:在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
(1)比值叫做的正弦，记作，即；
(2)比值叫做的余弦，记作，即；
(3)比值叫做的正切，记作，即；
2.符号:由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
3.三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点．我们就分别称有向线段，，为正弦线、余弦线、正切线．
例1.
已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值．
例2.
在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则 .
例3.
函数的值域是（ ）．
A. B. C. D.
例4.
已知，则所在的象限
A.第一或第二象限 B.第二或第四象限
C.第二或第三象限 D.第一或第三象限
例5.
若，则下式中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
例6.
已知:，求证：．
过关检测（5mins）
1.已知且，则的终边落在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示，在平面直角坐标系中， 角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则 .
3.的大小关系是
A. B. C. D.
四.会同角三角函数公式及其应用LV.3
例1.
若,则________.
例2．
已知，则_______________．
例3．
已知，求的值。
例4．
已知则的值为_______________.
例5.
已知,求下列各式的值.
（1） （2）
例6.
已知,那么的值为
A. B. C. D.
过关检测（10mins）
1.，则=.
2.已知且,则________
3.若，则
A． B． C． D．
4.已知则的值是________
5.已知,那么的值是
A. B. C. D.
五.会诱导公式及其应用LV.4
奇变偶不变，符号看象限。
注：奇偶指前系数为奇数还是偶数，变不变指和,和是否相互转变；
看象限是指把当成锐角时，原式括号内的角是位于第几象限从而判定最后有否负号。
例1.
求三角函数值：（1）（2）（3）（4）
例2.
计算=.
例3.
若角的终边过点,则.
例4.
已知 则 .
例5.
已知则.
例6.
化简：得
A. B.
C. D.
例7.
已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是
A. B.
C. D.
过关检测（8mins）
1.则的值为
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为
（A） （B） （C） （D）
3.若角的终边过点,则，.
4.若为整数,则代数式的化简结果是
A. B. C. D.
课后练习
补救练习（15mins）
（1）已知半径为的扇形的弧长为,则这个扇形的圆心角的弧度数为________．
（2）用弧度制表示：
①终边在轴上的角的集合
②终边在轴上的角的集合
③终边在坐标轴上的角的集合．
2.设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限
3.如果,且,则在第几象限
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.与角终边相同的角是
A． B． C． D．
5.若角的终边经过点,则的值为
A. B. C. D.
6.设是第二象限角则______．
7.如果，且为第四象限角，那么 ______．
8.已知和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是
A. B.
C. D.
巩固练习（25mins）
1.若一个扇形的弧长是,半径是,则该扇形的圆心角为
A. B. C. D.
2.已知，那么角是
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
3.已知点在角的终边上,且,则的值为
A. B. C. D.
4.若是第二象限的角,为其终边上的一点,且,则
A. B. （C） （D）
5.“”是“”的
A.充分不必要条 B. 充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.下列关系式中正确的是
A. B.
C. D.
7.已知,则等于
A. B. C. D.
8.已知,求的值.
9.记,那么等于
A. B. C. D.
10.，则__________.
11.，则的取值范围是__________ ．
拔高练习（15mins）
1.“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设命题p:“若,则”,命题q:“若,则”,则
A.“”为真命题 B. “”为假命题
C.“”为假命题 D.以上都不对
3.若角的终边相同，则的终边在
A.轴的非负半轴上 B.轴的非负半轴上
C.轴的非正半轴上 D.轴的非正半轴上
4.已知,且,则
A. B.
C. D.
5.若,则等于
A.0 B.1 C.2 D.3第一讲 三角函数基础知识
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.给出下面四个命题：
①终边相同的角相等， ②第一象限的角都是正角，
③小于的角是锐角，④钝角是第二象限的角，
其中正确命题的序号是_______________．
【答案】④
2.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是.
【答案】
【解析】设弧长为半径为则则
3.若，且的终边过点，则是第_____象限角，_____.
【答案】二、
【解析】所以是第二象限角.
4.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
5.设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
A.； B.； C.； D.；
【答案】B．
【解析】做出的三角函数线,有图像进行判断即可得到的大小关系.
6.已知角为第四象限的角,,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为第四象限角,所以
7. 若,则等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为
课中讲解
会任意角的概念与表示LV.2
1.正角、负角、零角：
(1)正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
(2)负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
(3)零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
2.象限角与轴线角：
（1）象限角：在直角坐标系中，使角的顶点于原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
例：第一象限角或
（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角例：终边落在轴上的角： 或
例1．设为锐角，为小于的角，为第一象限角，
为小于的正角，则下列等式中成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
例2.若的终边与角的终边相同，在内写出终边与角的终边相同的角
【答案】由题意所以，故在内，
与角终边相同的角有．
例3.已知,求的范围
【答案】．
【解析】
过关检测（2mins）
1.下面四个命题中正确的是（ ）
A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限角
【答案】B
二．会弧度制与角度制的转化及其应用LV.2
1.弧度制：
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角．
(2)弧度与角度的换算:
， ， ．
2.弧长与扇形面积公式:
弧长公式： 扇形面积公式：
例1.
下列命题中，真命题的是
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧长；
B.一弧度是长度为半径长得弧；
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和；
D.一弧度是长度等于半径长得弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
【答案】D
【解析】本题主要考察弧度制下角的度量单位,一弧度的定义:我们把长度等于半径长度的弧长所对应的圆心角叫做一弧度的角.
例2.
半径为的圆内，弧长为的弧所对的圆心角的度数为______．
【答案】
【解析】设所求角为,则
过关检测（2mins）
1.若，则角的终边在（ ）．
A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
【答案】C
【解析】所以在第三象限.
三.会三角函数定义及三角函数线LV.2
1.定义:在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
(1)比值叫做的正弦，记作，即；
(2)比值叫做的余弦，记作，即；
(3)比值叫做的正切，记作，即；
2.符号:由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
3.三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点．我们就分别称有向线段，，为正弦线、余弦线、正切线．
例1.
已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，．
【解析】
例2.
在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则 .
【答案】
【解析】根据题意得所以
例3.
函数的值域是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当是第一象限角时, 当是第二象限角时,
当是第三象限角时,当是第四象限角时,
例4.
已知，则所在的象限
A.第一或第二象限 B.第二或第四象限
C.第二或第三象限 D.第一或第三象限
【答案】
【解析】因为所以所以在第一或第二象限.
例5.
若，则下式中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】由三角函数线画图可知
例6.
已知:，求证：．
【答案】
设角与单位圆交于，则，，如图所示，.连结
的面积，的面积∵，即∴．
过关检测（5mins）
1.已知且，则的终边落在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】可知在第三象限或第四象限，可知在第一象限或第四象限，故可知在第四象限
2.如图所示，在平面直角坐标系中， 角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则 .
【答案】
【解析】因为在第二象限,所以
3.的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三角函数线画图可知
四.会同角三角函数公式及其应用LV.3
例1.
若,则________.
【答案】
【解析】因为
例2．
已知，则_______________．
【答案】或
【解析】
例3．
已知，求的值。
【答案】
【解析】
例4．
已知则的值为_______________.
【答案】
【解析】
例5.
已知,求下列各式的值.
（1） （2）
【答案】１，
【解析】
（1）
（2）
例6.
已知,那么的值为
A. B. C. D.
【答案】Ｂ
【解析】
过关检测（10mins）
1.，则=.
【答案】
【解析】因为在第二象限,
2.已知且,则________
【答案】
【解析】
3.若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
4.已知则的值是________
【答案】
【解析】
5.已知,那么的值是
A. B. C. D.
【答案】Ａ
【解析】
五.会诱导公式及其应用LV.4
奇变偶不变，符号看象限。
注：奇偶指前系数为奇数还是偶数，变不变指和,和是否相互转变；
看象限是指把当成锐角时，原式括号内的角是位于第几象限从而判定最后有否负号。
例1.
求三角函数值：（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）（2）
（3）（4）
例2.
计算=.
【答案】
【解析】
例3.
若角的终边过点,则.
【答案】
【解析】本题考查三角函数诱导公式
例4.
已知 则 .
【答案】
【解析】
例5.
已知则.
【答案】
【解析】
例6.
化简：得
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
例7.
已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考察分段函数的奇偶性,
因为函数为偶函数,所以,所以且,从而或,其中,C选项满足要求.
过关检测（8mins）
1.则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式经诱导公式化
2.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由正切函数定义可知: ,,
3.若角的终边过点,则，.
【答案】，
【解析】本题考查三角函数定义与诱导公式
，
4.若为整数,则代数式的化简结果是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当为奇数时原式当为偶数时原式
课后练习
补救练习（15mins）
（1）已知半径为的扇形的弧长为,则这个扇形的圆心角的弧度数为________．
（2）用弧度制表示：
①终边在轴上的角的集合
②终边在轴上的角的集合
③终边在坐标轴上的角的集合．
【答案】（1）
（2） ①终边在轴上的角的集合：
②终边在轴上的角的集合：
③终边在坐标轴上的角的集合：
2.设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限
【答案】二、三、四
【解析】由三角函数定义知在单位圆中为由 在第二、三、四象限的正负可得,分别在第二、三、四象限.
3.如果,且,则在第几象限
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】可知在第二象限或第三象限，可知在第一象限或第三象限，故可知在第三象限
4.与角终边相同的角是
A． B． C． D．
【答案】D
5.若角的终边经过点,则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】三角函数定义知
6.设是第二象限角则______．
【答案】
【解析】，，又是第二象限角，
7.如果，且为第四象限角，那么 ______．
【答案】
【解析】，，为第四象限角，则
8.已知和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】和的终边关于轴对称,
巩固练习（25mins）
1.若一个扇形的弧长是,半径是,则该扇形的圆心角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
2.已知，那么角是
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
【答案】Ｃ
【解析】可知一正一负，故角是第三或第四象限角
3.已知点在角的终边上,且,则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查三角函数的定义,给值求角.又因为点在角的终边上,所以角为第四象限角,且,，故选C.
4.若是第二象限的角,为其终边上的一点,且,则
A. B. （C） （D）
【答案】C
【解析】由三角函数定义知所以，又若是第二象限的角，所以.
5.“”是“”的
A.充分不必要条 B. 充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】考查逻辑语句由不等价于,.故为必要不充分条件,选C.
6.下列关系式中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，.结合三角函数线可知故选C
7.已知,则等于
A. B. C. D.
【答案】Ｃ
【解析】,所以，可知
8.已知,求的值.
【答案】２
【解析】原式平方后为，
解得或.时，为正，不合题意
9.记,那么等于
A. B. C. D.
【答案】Ｂ
【解析】，
10.，则__________.
【答案】
【解析】原式
11.，则的取值范围是__________ ．
【答案】
【解析】，所以为三、四象限角
拔高练习（15mins）
1.“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
设角与单位圆交于，则有向线段，如图所示，.连结
的面积， ∵，即∴．
2.设命题p:“若,则”,命题q:“若,则”,则
A.“”为真命题 B. “”为假命题
C.“”为假命题 D.以上都不对
【答案】B
【解析】:由题可得:命题为假命题,命题为假命题,则为假命题,故选B
3.若角的终边相同，则的终边在
A.轴的非负半轴上 B.轴的非负半轴上
C.轴的非正半轴上 D.轴的非正半轴上
【答案】A
【解析】角的终边相同，故故选A
4.已知,且,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查不等式
A选项,令,则,所以A错误;
B选项,令,则,所以B错误;
C选项,令,则,所以C错误;
D选项,在上单调递增,所以即,所以D正确。
5.若,则等于
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】又，所以
.
