第三讲 三角函数图象与性质
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．将的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】本题考查三角函数平移伸缩变换.
的图象向左平移个单位,即为,故选B
2.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）求证:当时,.
【解析】（Ⅰ）
所以最小正周期.
（Ⅱ）证明:
由（Ⅰ）知.
当,即时,取得最小值.
得证.
课中讲解
一.会基本图象性质LV.3
函数
图象
定义域
值域
周期性 周期为 周期为 周期为
对称轴 不存在
对称中心
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 单调区间： ； 单减区间： 单调区间： 单减区间： 单调区间：
1.正弦图象
例1.
函数 图象的一条对称轴是
A.轴 B.轴 C.直线 D.直线
【答案】D
例2.
下列是函数的单调递增区间的是
A. B. C. D.
【答案】C
例3.
下列函数中，最小正周期为的是
A. B. C. D.
【答案】C
例4.
函数,的单调增区间是________
【答案】
例5.
下列函数中，不是周期函数的是
A. B.
C. D.
【答案】D
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】D
2.函数的值域是（ ）
A B C D
【答案】B
3.已知,则下列命题正确的是
A. 是周期为1的奇函数 B.是周期为2的奇函数
C.是周期为1的非奇非偶函数 D.是周期为2的非奇非偶函数
【答案】D
4.若函数的最大值是，最小值是，求函数的最大值与最小值及周期。
【答案】2,；-2；2π
二、余弦图象性质LV.3
例1.
函数y＝1－2cosx的最大值是________；最小值是________．
【答案】（1）3，-1
例2.
若函数和y＝cos（2－x）都是减函数，则x的取值范围是________．
【答案】（2）
例3.
下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
例4.
已知 ，分别求出在下列范围内的角的值．
（1）是第二象限角； （2）∈R．
【答案】
例5.
不等式的解为
A． B．
C. D．
【答案】D
例6.
已知：函数f（x）＝sin2x＋2cosx．求：f（x）（0≤x≤）取得最大值时x的值及这个最大值．
【答案】0，2
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期是________
【答案】1
2.已知函数的最小正周期不大于3，则正整数的最小值是________
【答案】7
3.已知周期函数是奇函数，6是的一个周期，且，则________
【答案】-1
三、正切图象LV.3
例1.
函数y＝tan3x的单调增区间是________．
【答案】（3）
例2.
若函数的最小正周期为，则a＝________．
【答案】（4））
例3.
函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】A
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期为（ ）。
A B C D
【答案】C
2.函数的定义域是（ ）。
A B
C D
【答案】D
3.观察正切曲线，写出满足tanx＞的x的取值范围．
【答案】
4.观察正切曲线，写出满足tanx≤－1的x的取值范围
【答案】
二．会正余弦型图象及性质LV.4
1.图象和性质
函数
图象
定义域
值域
周期性 周期为 周期为
对称轴 令，解得：
对称中心 令，解得：
奇偶性 奇函数 根据轴是否为函数对称轴，以及原点是否为其对称中心来确定
单调性 单调区间： ，； 单减区间： ， 单调区间： 令，解得： ， 单减区间： 令，解得： ，
给定区间求值域 已知 ①令 ② ③ ④设，则为 ⑤根据的取值范围，求出的值域。
2.三角函数图象变换
(一）知识内容
1．函数图象平移基本结论小结如下：
设为左移个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移个单位得到的必在的图象上，故，又点任意，故的图象左移个单位得到的新的函数的解析式为：．
函数变换可以用下图表示：
1.会由解析式求性质LV.3
例1.
函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】,相邻两条对称轴之间的距离为,故选C
例2.
函数的最小正周期是__________,最小值是__________.
【答案】
【解析】本题考查三角函数性质.
函数的最小正周期是π,最小值为,
故答案为:．
例3.
函数的单调递增区间是.
【答案】
例4.
已知函数同时满足以下条件:①周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式.
【答案】或等
例5.
函数的图像记为曲线,则“”是“曲线关于直线对称”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】本题考查三角函数的性质与逻辑用语.
①由得,即,,
,对称轴满足,
即,对称轴为,曲线关于对称.
②若曲线关于直线对称,,.
综上,“”是“曲线关于直线对称”的充要条件.
例6.
设函数,若函数恰有三个零点,,,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】函数令函数恰好有三个零点，转化为与函数有三个交点问题.
根据三角函数图象的性质可得：，那么可得 则的取值范围是 故选：A
过关检测：
1.已知函数的最小正周期为，则
（A）函数的图象关于原点对称
（B）函数的图象关于直线对称
（C）函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称
（D）函数在区间上单调递增
【解析】函数的最小正周期为，
∴，
可得.
那么.
由对称中心横坐标方程：
可得：
∴A不对；
由对称轴方程：，
可得：，
∴B不对；
函数图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称.
∴C对.
令，
可得：
∴函数在区间上不是单调递增.
∴D不对；
故选：C
2.会由图象及性质求解析式LV.4
例1.
函数,的部分图象如图所示,则的值分别是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】本题考查三角函数的图象与性质
由图可知,即,所以,由五点作图法可知当时,,解得,又,故
故选A
例2.
已知函数,若函数的部分
图象如图所示,则,的最小值是.
【答案】;.
【解析】本题考查三角函数.
由图可知,即,所以.
因为过,所以,
解得,又因为,所以时,有最小值.
例3.
若函数(,)的部分图象如图所示,则,.
【答案】
例4.
已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则,．
【答案】,
【解析】本题考查三角函数图象
有图象可得,
,
所以
因为,所以.
因为图象经过点,所以,即
因为,所以
所以,.
例5.
已知函数,若,则函数的单调增区间为________.
【答案】
【解析】,得,,又函数最小正周期,所以函数的单调递增区间为。
例6.
已知函数，点，都在曲线上，且线段与曲线有五个公共点，则的值是
（A）4 （B）2 （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意可知： 故选A
例7.
已知函数在一个周期内的图象如图所示,其中分别是这段图象的最高点和最低点,是图象与轴的交点,且,则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】本题考查三角函数的性质
由题意知,
又,则解得
故选C.
例8.
已知点,若这三个点有且仅有两个点在函数的图象上,则正数的最小值.
【答案】4
【解析】若点A或点B在函数图像上,则点C一定在函数图像上,所以只有A、C或者B、C同时在函数图像上,
若,则A、B、C三点均在函数图像上,所以
若B、C在,A不在,需满足
,,,
所以
若A、C在,B不在,需满足
,或
所以
综上
例9.
设函数是常数,).若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为.
【答案】
【解析】由可知函数的一条对称轴为，则离最近对称轴距离为又则有对称中心 由于在区间 上具有单调性，则 从而 综上所述
过关检测
1.函数(,,)的部分图象如图所示,则函数表达式为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】本题考查三角函数图象及解析式.
由图象可得,最大值为,最小值为,则;
从图象上看,,且,所以;
图象过点,满足,则,
所以解析式为,故选B
2.设函数.若对任意的实数都成立,则的最小值为.
【答案】
【解析】本题考查三角函数.
∵对任意恒成立,
∴为的最大值,
∴,
∴,
解得,
又∵,
∴的最小值为.
3.已知点A,B,C,若这三个点中有且仅有两个点在函数的图像上,则正数的最小值为.
【答案】4
【解析】
若点A或点B在函数图像上,则点C一定在函数图像上,所以只有A、C或者B、C同时在函数图像上,
若,则A、B、C三点均在函数图像上,所以
若B、C在,A不在,需满足
,,,
所以
若A、C在,B不在,需满足
,或
所以
综上
3.函数平移变换LV.3
例1.
将的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】本题考查三角函数平移伸缩变换.
的图象向左平移个单位,即为,故选B
例2.
要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点
（A）先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变
（B）先向右平移个单位长度,横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变
（C）横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
（D）横坐标变伸长原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换.
选项A:
选项B:
选项C:
选项D:
故选C.
例3.
将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合,则函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
例4.
已知函数.若的图像向左平移个单位所得的图像与的图像重合,则的最小值为.
【答案】
【解析】本题考查三角函数
,
例5.
将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数图象在区间上单调递减,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再根据得到函数在区间上单调递减，
，解得，则的最小值为
过关检测
1. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】考查函数的性质
由
则
故左移个单位长度,故选A.
2.已知函数.若的图像向左平移个单位所得的图像与的图像重合,则的最小值为.
【答案】
【解析】本题考查三角函数
，
三．会三角函数综合LV.4
1.会三角恒等变换与图象性质综合LV.3
例1.
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）求在上的最大值．
【解析】本题考查三角函数
（Ⅰ）
因此的最小正周期为．
（Ⅱ）当时,,
当,有最大值．
即时,的最大值为．
例2.
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的单调递增区间.
【解析】
（Ⅰ）因为
所以的最小正周期
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
函数的单调递增区间为
因此
得到
所以的单调递增区间为
例3.
已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及的值;
（Ⅱ）求在上的单调递增区间.
【解析】（Ⅰ）由可得,
所以的定义域为.
.
（Ⅱ）
,
法1：函数的增区间为.
由，,
得，,
因为,
所以,
所以，在上的单调递增区间为.
法2：因为,所以.
因为函数在上单调递增,
所以时,单调递增,
此时,所以，函数在上的单调递增区间为
例4.
已知函数,.
（Ⅰ）若,求的单调递增区间;
（Ⅱ）若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.
【解析】
（Ⅰ）当时,
.
令.
解得.
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）由
.
因为,所以.
则,.
解得.
又因为函数的最小正周期,且,
所以当时,的最大值为.
例5.
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）若在区间上的最大值为,求的最小值.
【解析】
（Ⅰ）
的最小正周期为:
（Ⅱ）故
当时,
的最小值为
例6.
已知函数,.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间;
（Ⅱ）设,若函数为奇函数,求的最小值.
【解析】（Ⅰ）
所以函数的最小正周期
由,,
得,
所以函数的单调递增区间为,
（注:或者写成单调递增区间为,.）
（Ⅱ）解:由题意,得,
因为函数为奇函数,且,
所以,即,
所以,,
解得,,验证知其符合题意.
又因为,
所以的最小值为
例7.
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和.
【解析】（Ⅰ）根据题意有:
所以函数的最小正周期
（Ⅱ）
所以当即时,取最小值;
当即时取最大值
又
例8.
函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出的最小正周期及图中,的值;
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）的最小正周期为
.
（Ⅱ）因为,所以.
于是当,即时,取得最大值0;
当,即时,取得最小值.
例9.
已知函数在一个周期内的部分对应值如下表:
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质.
（Ⅰ）由表格可知,的周期,
所以.
又由,且,所以.
所以
（Ⅱ）
由,所以当时,有最大值;
当时,有最小值
例10.
如图,已知函数在一个周期内的图象经过 三点.
（Ⅰ）写出的值;
（Ⅱ）若且 求的值.
【解析】（Ⅰ）,,.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,.
因为,所以.
因为,所以.
所以,
所以,
所以.
过关检测(20min)
1. 已知.
（Ⅰ）的最小正周期及单调增区间;
（Ⅱ）若时,求的值域.
【解析】
（Ⅰ）最小正周期为
令得
即单增区间为;
（Ⅱ）由得
,
在上值域为.
2.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）当时,求函数的单调递减区间.
【解析】（Ⅰ）
的最小正周期为.
（Ⅱ）当时,函数单调递减,
即的递减区间为:,
由=,
所以的递减区间为:.
3.函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）依题意,有,
所以,
解得．
（Ⅱ）因为
．
所以的最小正周期 ．
所以．
2.会三角函数应用题LV.5
例1.
如图,一个半径为米的水轮按逆时针方向每分钟转圈,记水轮上的点到水面的距离为米（在水面
下则为负数）,如果（米）与时间（秒）之间满足关系,
且当点从上面上浮现时开始计算时间,那么以下结论中:
① ② ③ ④
正确结论的序号是.
【答案】①②④
【解析】由图可知的最大值为,最小值为,
所以:,解得,,故①④正确;
又因为每分钟转圈,∴函数的周期为,,故②正确,
又当时,,所以,,∴,故③错误.
综上所述,正确结论的序号是①②④.
例2.
去年某地的月平均气温与月份（月）近似地满足函数（为常数）.若月份的月平均气温约为℃,月份的月平均气温约为℃,则该地月份的月平均
气温约为℃.
【答案】
【解析】函数（为常数）,当时,,当时;
即,化简得,
解得,
所以,
当时,
过关检测(10min)
1.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
【答案】；
【解析】本题考查三角函数恒等变换
因为
所以
所以
所以
3.会与其他函数结合LV.5
例1.
已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】本题考察分段函数的奇偶性,
因为函数为偶函数,所以,所以且,从而或,其中,C选项满足要求.
例2.
已知函数 ,下列结论中错误的是（ ）
（A）是偶函数 （B）函数最小值为
（C） 是函数的一个周期 （D）函数在内是减函数
【答案】D
【解析】本题考查函数性质的综合运用
A:函数定义域为,且,所以为偶函数,A正确;
B:,当时,取得最小值,B正确;
C:,最小正周期为,C正确;
D:,当时,,所以先单调递减后单调递,增C错误.
故选D
例3.
“”是“函数在上单调递增”的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查充分必要条件.
若函数在上单调递增,
则恒成立,即,即,
∵,
∴,
则“”是“函数在上单调递增”充分不必要条件,
故选:A．
过关检测(10min)
1.设函数,则的最小正周期 （ ）
（A）与有关,且与有关 （B）与有关,但与无关
（C）与无关,且与无关 （D）与无关,但与有关
【答案】B
【解析】本题考查三角函数的周期.,其中当时,,此时周期是;当时,最小正周期为,而不影响周期,故选B
2.设（）,则下列说法不正确的是 （ ）
（A）为上偶函数 （B）为的一个周期
（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减
【答案】D
【解析】本题考查函数性质.
因为,则
所以,即为偶函数.故A正确
因为,则
所以,则周期为,故B正确.
因为,则,在,上,则在区间上单调递减,在,上,则在区间上单调递增,则为的一个极小值点,故C正确.
因为,则,在上,则在区间上单调递增,故D错误.
综上,故选D.
补救练习
1.函数的图象
A．关于对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于对称
【答案】A
2.函数的最大值是3，则它的最小值_____________________.
【答案】-1
3.函数的部分图象是
A. B. C. D.
【答案】A
4. 函数的部分图象如图所示,则
【答案】
【解析】本题考查三角函数的图象与性质.
由图可知,解得.
5.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,所得图象的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】由的图象向右平行移动个单位长度,
得到的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,
得到.故选.
6.如果函数的图象过点且,那么____;____.
【答案】
【解析】本题考查函数的概念和性质.
由题意可得,,则,则,所以.
7.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和在上的单调递减区间;
（Ⅱ）若为第四象限角,且,求的值.
【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质.
（Ⅰ）由已知
所以最小正周期
由
得
故函数在上的单调递减区间为
（Ⅱ）因为为第四象限角,且,所以.
所以=.
巩固练习
1．若函数在区间上有且只有一个零点,则实数.
【解析】作函数在区间上的图象如下,
,
结合图象可知,
若函数在区间上有且只有一个零点,
则,
故;
故答案为:1
2. 将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图像关于原点对称,则的最小值是.
【答案】
【解析】本题考查三角函数
由，
由于关于原点对称，则
则的最小值为.
3.如果函数的两个相邻零点间的距离为,那么的值为 （ ）
（A）1 (B)-1 (C) （D）
【答案】A
【解析】本题考查三角函数运算.
最小正周期为4,,
所以原式
,故选A
5. 已知函数,在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为.
【答案】
6.已知函数,若关于的方程在内有唯一实根,则实数的最小值是
【答案】.
【解析】本题考查函数.
因为方程在上有唯一的实根,
所以在上有唯一的实根.
由的图象可知的最小值为.
7.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）若,求函数的单调增区间.
【答案】（Ⅰ）解:
所以函数的最小正周期
（Ⅱ）解:由,
得,
所以函数的单调递增区间为,
所以当时,的增区间为,
（注:或者写成增区间为,.
8.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程;
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
【解析】
（Ⅰ）;
所以的最小正周期,
因为的对称轴方程为,.
令,,.
得,.
所以的对称轴方程为,.
（Ⅱ）因为,
所以,
所以
所以,当即时,
在区间上的最小值为.
9.已知函数.
(Ⅰ)若，求的值；
(Ⅱ)若在上单调递减，求的最大值.
【解析】
(Ⅰ)因为，
所以.
所以.
(Ⅱ)由题意
所以，
所以当
所以
所以
所以的最大值为.
10.已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期;
（Ⅱ）求的单调递减区间.
【解析】（Ⅰ）由得,,
所以的定义域为
因为
所以的最小正周期为
（Ⅱ）由
可得
所以的单调递减区间为,
11.已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
（Ⅱ）求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由,
得,
所以,其中,
所以的定义域为.
（Ⅱ）因为
由（Ⅰ）得,其中,
所以
所以的取值范围是 .
12.函数(,)的部分图像如图所示,其中是函数的一个零点.
（Ⅰ）写出,及的值;
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
解:（Ⅰ）由图可知:,
因为,,所以
由得
则或
又因为,所以
则,令解得
由图可得,所以,此时
综上,,,
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为,所以
则当即时,取最小值
当即时,取最大值
综上,函数在区间上的最大值为,最小值为
13.已知函数.
（Ⅰ）求曲线的相邻两条对称轴的距离;
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求的最大值.
【解析】（Ⅰ）
所以函数的最小正周期.
所以曲线的相邻两条对称轴的距离为,即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当时,.
因为在上单调递增,且在上单调递增,
所以,
即
解得.
故的最大值为.
拔高练习
1. 设函数,（是常数,）,且函数的部分图形如图所示,则有
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】Ｄ
【解析】本题考查三角函数的图像和性质.根据图像可知函数的周期是,
所以周期是,
再结合对称性关于对称
在上单调递减,
在上单调递增即可解决.
2.设函数,若,且,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
3. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选B.
【解析】本题考查三角函数.根据图象平移变换其在区间上的第一个单调增区间是，于是，故的最大值为，故选B.
4.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上,则
（A）,的最小值为 （B）,的最小值为
（C）,的最小值为 （D）,的最小值为
【答案】
【解析】在的图象上
.
点向左平移个单位长度得到点.
位于的图象上
的最小值为
5.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），如果（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】由图可知的最大值为15，最小值为-5，即 解得 故A,D正确。因为每分钟转4圈，所以函数的周期为15s，故即B正确。依题意，可知当时，即解可得即C错误。
6.如图,直线与单位圆相切于点,射线从出发,绕着点逆时针旋转,在旋转的过程中,记,经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为,记,则下列判断正确的是
（A）当时,
（B）时,为减函数
（C）对任意,都有
（D）对任意,都有
【答案】C
【解析】对于A，由题意当时，所经过的在单位圆的区域（阴影部分）的面积为S为半个单位圆。圆的半径为1，故故错；
对于B，依题意可得函数的单调增，所以对任意且都有 故错误；
对于C，对任意根据图形可得刚好为单位圆的面积，所以都有故正确；
对于D，当时，故错误；
故选C
7.已知函数当时,函数的最大值是若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是
【答案】
【解析】本题考查函数综合应用.
当时,
令,当,即时取等号
即当时,
令
又因为
则
图象仅有两对点关于轴对称
即的图象关于轴对称的函数图象与仅有两个交点
当时,.设其关于轴对称的函数为
∴
∵
由（1）可知近似图象如图所示
当与仅有两个交点时,
综上,的取值范围是
8.已知函数与函数在区间都为减函数,设,且,,,则的大小关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查函数的单调性及时.
即,又
.
又函数区间为减函数,
;
即,
又函数区间为减函数,
;
.
故选C.
9.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查函数的性质.
,则为奇函数,函数即为函数向右平移一个单位得到,故最大值和最小值之和为6,故选C
10.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】本题考查导数与函数的单调性.
依题意,,依题意可得,,即,因为,故,即实数的取值范围是
11.已知函数,关于此函数的说法正确的序号是.
①为周期函数;
②有对称轴;
③为的对称中心;④.
【答案】①②④
【解析】∵函数,
∴①,为周期函数,正确;
②,是偶函数,∴有对称轴,正确;
③n为偶数时,,∴为的对称中心,不正确;
④∵,∴,正确.
故答案为:①②④.
12.在平面直角坐标系中,以点,曲线上的动点,第一象限内的点,构成等腰直角三角形,且,则线段长的最大值是.
【答案】
【解析】曲线是以为圆心,1为半径的上半圆,
可设,,,
由等腰直角三角形,可得
,即有,①
,即有,
即为,②
由①②解得,,
或（舍去）.
则
,
当,即,取得最大值.
故答案为:第三讲 三角函数图象与性质
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．将的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）求证:当时,.
课中讲解
一.会基本图象性质LV.3
函数
图象
定义域
值域
周期性 周期为 周期为 周期为
对称轴 不存在
对称中心
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 单调区间： ； 单减区间： 单调区间： 单减区间： 单调区间：
1.正弦图象
例1.
函数 图象的一条对称轴是
A.轴 B.轴 C.直线 D.直线
例2.
下列是函数的单调递增区间的是
A. B. C. D.
例3.
下列函数中，最小正周期为的是
A. B. C. D.
例4.
函数,的单调增区间是________
例5.
下列函数中，不是周期函数的是
A. B.
C. D.
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期为
A. B. C. D.
2.函数的值域是（ ）
A B C D
3.已知,则下列命题正确的是
A. 是周期为1的奇函数 B.是周期为2的奇函数
C.是周期为1的非奇非偶函数 D.是周期为2的非奇非偶函数
4.若函数的最大值是，最小值是，求函数的最大值与最小值及周期。
二、余弦图象性质LV.3
例1.
函数y＝1－2cosx的最大值是________；最小值是________．
例2.
若函数和y＝cos（2－x）都是减函数，则x的取值范围是________．
例3.
下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
（A） （B）
（C） （D）
例4.
已知 ，分别求出在下列范围内的角的值．
（1）是第二象限角； （2）∈R．
例5.
不等式的解为
A． B．
C. D．
例6.
已知：函数f（x）＝sin2x＋2cosx．求：f（x）（0≤x≤）取得最大值时x的值及这个最大值．
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期是________
2.已知函数的最小正周期不大于3，则正整数的最小值是________
3.已知周期函数是奇函数，6是的一个周期，且，则________
三、正切图象LV.3
例1.
函数y＝tan3x的单调增区间是________．
例2.
若函数的最小正周期为，则a＝________．
例3.
函数的定义域是
A． B．
C． D．
过关检测（10mins）
1.函数的最小正周期为（ ）。
A B C D
2.函数的定义域是（ ）。
A B
C D
3.观察正切曲线，写出满足tanx＞的x的取值范围．
4.观察正切曲线，写出满足tanx≤－1的x的取值范围
二．会正余弦型图象及性质LV.4
1.图象和性质
函数
图象
定义域
值域
周期性 周期为 周期为
对称轴 令，解得：
对称中心 令，解得：
奇偶性 奇函数 根据轴是否为函数对称轴，以及原点是否为其对称中心来确定
单调性 单调区间： ，； 单减区间： ， 单调区间： 令，解得： ， 单减区间： 令，解得： ，
给定区间求值域 已知 ①令 ② ③ ④设，则为 ⑤根据的取值范围，求出的值域。
2.三角函数图象变换
(一）知识内容
1．函数图象平移基本结论小结如下：
设为左移个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移个单位得到的必在的图象上，故，又点任意，故的图象左移个单位得到的新的函数的解析式为：．
函数变换可以用下图表示：
1.会由解析式求性质LV.3
例1.
函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是
（A） （B） （C） （D）
例2.
函数的最小正周期是__________,最小值是__________.
例3.
函数的单调递增区间是.
例4.
已知函数同时满足以下条件:①周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式.
例5.
函数的图像记为曲线,则“”是“曲线关于直线对称”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
例6.
设函数,若函数恰有三个零点,,,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
过关检测：
1.已知函数的最小正周期为，则
（A）函数的图象关于原点对称
（B）函数的图象关于直线对称
（C）函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称
（D）函数在区间上单调递增
2.会由图象及性质求解析式LV.4
例1.
函数,的部分图象如图所示,则的值分别是
（A）
（B）
（C）
（D）
例2.
已知函数,若函数的部分
图象如图所示,则,的最小值是.
例3.
若函数(,)的部分图象如图所示,则,.
例4.
已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则,．
例5.
已知函数,若,则函数的单调增区间为________.
例6.
已知函数，点，都在曲线上，且线段与曲线有五个公共点，则的值是
（A）4 （B）2 （C） （D）
例7.
已知函数在一个周期内的图象如图所示,其中分别是这段图象的最高点和最低点,是图象与轴的交点,且,则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
例8.
已知点,若这三个点有且仅有两个点在函数的图象上,则正数的最小值.
例9.
设函数是常数,).若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为.
过关检测
1.函数(,,)的部分图象如图所示,则函数表达式为
（A）
（B）
（C）
（D）
2.设函数.若对任意的实数都成立,则的最小值为.
3.已知点A,B,C,若这三个点中有且仅有两个点在函数的图像上,则正数的最小值为.
3.函数平移变换LV.3
例1.
将的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为
（A） （B）
（C） （D）
例2.
要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点
（A）先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变
（B）先向右平移个单位长度,横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变
（C）横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
（D）横坐标变伸长原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
例3.
将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合,则函数为
（A） （B）
（C） （D）
例4.
已知函数.若的图像向左平移个单位所得的图像与的图像重合,则的最小值为.
例5.
将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数图象在区间上单调递减,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
过关检测
1. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
2.已知函数.若的图像向左平移个单位所得的图像与的图像重合,则的最小值为.
三．会三角函数综合LV.4
1.会三角恒等变换与图象性质综合LV.3
例1.
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）求在上的最大值．
例2.
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的单调递增区间.
例3.
已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及的值;
（Ⅱ）求在上的单调递增区间.
例4.
已知函数,.
（Ⅰ）若,求的单调递增区间;
（Ⅱ）若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.
例5.
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）若在区间上的最大值为,求的最小值.
例6.
已知函数,.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间;
（Ⅱ）设,若函数为奇函数,求的最小值.
例7.
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和.
例8.
函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出的最小正周期及图中,的值;
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
例9.
已知函数在一个周期内的部分对应值如下表:
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
例10.
如图,已知函数在一个周期内的图象经过 三点.
（Ⅰ）写出的值;
（Ⅱ）若且 求的值.
过关检测(20min)
1. 已知.
（Ⅰ）的最小正周期及单调增区间;
（Ⅱ）若时,求的值域.
2.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）当时,求函数的单调递减区间.
3.函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的值．
2.会三角函数应用题LV.5
例1.
如图,一个半径为米的水轮按逆时针方向每分钟转圈,记水轮上的点到水面的距离为米（在水面
下则为负数）,如果（米）与时间（秒）之间满足关系,
且当点从上面上浮现时开始计算时间,那么以下结论中:
① ② ③ ④
正确结论的序号是.
例2.
去年某地的月平均气温与月份（月）近似地满足函数（为常数）.若月份的月平均气温约为℃,月份的月平均气温约为℃,则该地月份的月平均
气温约为℃.
过关检测(10min)
1.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
3.会与其他函数结合LV.5
例1.
已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
例2.
已知函数 ,下列结论中错误的是（ ）
（A）是偶函数 （B）函数最小值为
（C） 是函数的一个周期 （D）函数在内是减函数
例3.
“”是“函数在上单调递增”的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
过关检测(10min)
1.设函数,则的最小正周期 （ ）
（A）与有关,且与有关 （B）与有关,但与无关
（C）与无关,且与无关 （D）与无关,但与有关
2.设（）,则下列说法不正确的是 （ ）
（A）为上偶函数 （B）为的一个周期
（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减
补救练习
1.函数的图象
A．关于对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于对称
2.函数的最大值是3，则它的最小值_____________________.
3.函数的部分图象是
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象如图所示,则
5.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,所得图象的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
6.如果函数的图象过点且,那么____;____.
7.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和在上的单调递减区间;
（Ⅱ）若为第四象限角,且,求的值.
巩固练习
1．若函数在区间上有且只有一个零点,则实数.
2. 将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图像关于原点对称,则的最小值是.
3.如果函数的两个相邻零点间的距离为,那么的值为 （ ）
（A）1 (B)-1 (C) （D）
5. 已知函数,在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为.
6.已知函数,若关于的方程在内有唯一实根,则实数的最小值是
7.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）若,求函数的单调增区间.
8.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程;
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
9.已知函数.
(Ⅰ)若，求的值；
(Ⅱ)若在上单调递减，求的最大值.
10.已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期;
（Ⅱ）求的单调递减区间.
11.已知函数.
（Ⅰ）求的定义域;
（Ⅱ）求的取值范围.
12.函数(,)的部分图像如图所示,其中是函数的一个零点.
（Ⅰ）写出,及的值;
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
13.已知函数.
（Ⅰ）求曲线的相邻两条对称轴的距离;
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求的最大值.
拔高练习
1. 设函数,（是常数,）,且函数的部分图形如图所示,则有
（A）
（B）
（C）
（D）
2.设函数,若,且,则
（A） （B） （C） （D）
3. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为
（A） （B） （C） （D）
4.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上,则
（A）,的最小值为 （B）,的最小值为
（C）,的最小值为 （D）,的最小值为
5.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），如果（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图,直线与单位圆相切于点,射线从出发,绕着点逆时针旋转,在旋转的过程中,记,经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为,记,则下列判断正确的是
（A）当时,
（B）时,为减函数
（C）对任意,都有
（D）对任意,都有
7.已知函数当时,函数的最大值是若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是
8.已知函数与函数在区间都为减函数,设,且,,,则的大小关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
9.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是.
11.已知函数,关于此函数的说法正确的序号是.
①为周期函数;
②有对称轴;
③为的对称中心;④.
12.在平面直角坐标系中,以点,曲线上的动点,第一象限内的点,构成等腰直角三角形,且,则线段长的最大值是.
