第二讲 导数的几何意义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 求在点和过处的切线方程。
【解析】：
即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又
，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：
2.已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，求的值;
【答案】
【解析】因为,所以
因为,所以
因为与的图象在处有相同的切线,所以,所以
课中讲解
导数的几何意义：
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．
【注】曲线的切线的求法：求曲线经过点的切线，则需分点是切点和不是切点两种情况求解．
熟悉三句话：切点满足原函数方程，
切点处的导数值等于切线斜率，
切点满足切线方程。
经过定点的切线LV.4
会求切线
核心：找切点
题干出现在的切线，点即为切点，切线方程为
题干出现过的切线，点即为切点，需要分以下几步完成：
第一步：设切点，设出切点坐标；
第二步：写出过的切线方程为；
第三步：将点的坐标代入切线方程求出；
第四步：将的值代入方程，可得过点的切线方程．
切点已知问题（LV3）
例1.
已知函数，求曲线在点处的切线方程;
【答案】
【解析】
切线方程为
切线方程为
例2.
已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则
【答案】或.
【解析】,
由题意,所以,
所以或.
例3．
函数,曲线在点处的切线方程为.则；
【解析】,
,
因为在处的切线方程为
所以,从而
例4．
设函数.若曲线在点处的切线与轴平行,则=_________;
【答案】
【解析】
因为在处的切线与轴平行,所以,,
经检验,时,切线与轴不重合.（注意需要考虑）
所以
例5．
已知函数,其中.曲线在处的切线与直线垂直,求=_______;
【答案】0
【解析】的导函数为
依题意,有,
解得.
例6．
已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.直线的方程（用表示）为__________________;
设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,的面积的最小值为______________.
【答案】，1
【解析】对求导数,得,所以切线的斜率为,
由此得切线的方程为:,
即.
依题意,切线方程中令,得.
所以,.所以,.
设,.
则.
令,得或.
,的变化情况如下表:
所以在单调递减;在单调递增,所以,
从而的面积的最小值为1.
例7．
（理科）设函数在区间内导数存在，且有以下数据：
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 2 1
3 1 4 2
2 4 1 3
则曲线在点处的切线方程是 ;函数在处的切线方程是 ．
【答案】，
【解析】，
所以切线方程为即
，，，令
则，又，则
所以，即.
例8.
设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由于曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为，根据导数的几何意义，得，即.故选A.
函数在某点处的导数、曲线在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.
例9.
正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，其值域为以点为切点的切线的斜率的取值范围为，结合正切函数图像及直线倾斜角取值范围，可知答案为，故选A。
切点未知问题(LV4)
基础公式准备：
高次分解因式（大除法）
例1.
求曲线过点处的切线方程；
【解析】或
例2.
已知直线与函数的图象相切,则切点坐标为.
【答案】
【解析】本题考查导函数的几何意义.
设切点为
,切点坐标为.
例3.
曲线在点处的切线方程为_________；过点的切线方程为________
【答案】，或.
【解析】曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即.设过点的切线的切点坐标为，则切线方程为，代入点得，，即
，得，解得或，所以切线方程为或，即或.
过关检测（10mins）
1. 函数在点处的切线方程为_______________;
【答案】
【解析】，
，
在处切线过点，
∴切线方程为
2.已知函数则函数的图象在点处的切线方程为___________；
【答案】
3.已知函数在处的切线方程为,则实数=_______;
【答案】1
【解析】本题考查导数的应用，
由已知得
解得,
经检验符合题意.
4.已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则_______;
【答案】2
【解析】
因为切线过原点,
所以
解得:
5. 经过原点(0,0)作函数的图象的切线，则切线方程为________．
【答案】
【解析】当(0,0)为切点时，，故切线方程为.当(0,0)不为切点时，设切点为，则切线方程为，切线过原点，所以，所以，此时切线方程为
会结合图形使用切线斜率LV.4
熟悉三个概念：
平均变化率：对应图形的两点连线的斜率
瞬时变化率：对应图像切线的斜率
平均增长率：，即。
其中为最后一年，为第一年。事实上，考虑，那么就是一个解的过程。
例1.
某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
例2．
某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）
（A）第一年到第三年 （B）第二年到第四年
（C）第三年到第五年 （D）第四年到第六年
【答案】A
【过关检测】(10min)
1.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线，如表示开始交易后第3小时的即时价格为4元；表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2元.下面给出四个图象，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.数列表示第天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第天的日增长率.当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是
【答案】B
【解析】本题考查实际问题的函数模型。
由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，为定值，而实际情况在第天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B。
公切线问题LV4
例1.
函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】易知，.
由导数的几何意义，函数在处的切线斜率为.
结合题意，.故.
例2.
已知函数,.若曲线与曲线在它们的某个交点处具有公共切线,求的值;
【解析】设与的交点坐标为,则由条件,有
即
解得或,所以或.
例3.
设函数．若曲线和曲线都过点，且在点P处有相同的切线，求a，b，c，d的值；
【解析】由已知得.
而，故.
从而.
例4.
已知函数,函数.已知直线是曲线在点处的切线,且与曲线相切,求的值;
【解析】
因为,
所以,
所以,
所以直线方程为.
设直线与曲线相切于点,
又,所以,解得,
又,即,解得.
【过关检测】(10min)
1.已知函数,.若曲线在点处的切线与曲线切于点,求的值;
【解析】因为,所以,所以的方程为.
依题意,,.
于是与抛物线切于点,
由得.
所以
2.已知函数,函数,其中.如果函数与在处的切线均为,求切线的方程及的值;
【答案】切线l的方程为，.
【解析】求导,得,,
由题意,得切线l的斜率,即,解得
又切点坐标为,所以切线l的方程为.
切线的应用LV6
过某一点做曲线的切线的条数可以转化为零点个数问题
例1.
已知函数.
（Ⅰ）若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;
（Ⅱ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
【解析】（Ⅰ）设过点的直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
所以切线方程为,
因此
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下:
0 1
0 0
所以,是的极大值,是的极小值.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有2个零点.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有2个零点.
当且,即时,因为,所以分别在区间,和上恰有个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.
（Ⅱ）过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切.
例1.1
已知函数,直线.求证:对于任意,直线都不是曲线的切线;
【答案】证明:假设存在某个,使得直线与曲线相切,
设切点为,又因为,
所以切线满足斜率,且过点,
所以,
即,此方程显然无解,
所以假设不成立.
所以对于任意,直线都不是曲线的切线
例1.2.
设函数，设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；
【解析】设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为．
所以，即．
所以，解得．
即存在唯一的切点．
所以过点有且只有一条直线与曲线相切．
将零点问题转化为一个函数图像与经过某一定点的函数直线的交点个数（临界值，相切的时候）
例2.
已知函数，当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围.
【答案】法一、当时，与无公共点
只需证无零点
即无根，即，由数形结合知
当时无零点
当时有一个零点
当时，相切时，有一个零点
设切点，，所以，所以切点为
所以，所以
综上所述
与切线相关的参数范围
例3.
已知函数，求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标．
证明：令.则
因为，且在内是减函数，
所以存在唯一的，使得.
当时，
所以曲线存在以为切点，斜率为6的切线.
由得：.
所以.
因为,
所以.
所以.
例3.1
已知函数，若对,直线都不是曲线的切线,求的取值范围.
【解答】因为,直线都不是曲线的切线,
所以对成立,
只要的最小值大于即可,
而的最小值为
所以,即.
例3.2．
已知函数，若,直线都不是曲线的切线,求的取值范围;
【解答】因为
因为,直线都不是曲线的切线
所以对成立
只要的最小值大于
所以
过关检测（10mins）
1. 已知函数.若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
【解析】
设点是函数图象上的切点,
则过点的切线的斜率为,
所以过点的切线方程为.
因为点在切线上,
即.
若过点可作函数图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.
令,则函数与轴有三个不同的交点.
令,解得或.
因为,,
所以必须,即.
所以实数的取值范围为
2.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小值;
（Ⅱ）求函数的单调区间;
（Ⅲ）求证:直线曲线的切线.
【解析】
（Ⅰ）
令,解得.则在上为减函数,在上为增函数
所以在时取得最小值.
（Ⅱ）
因为,所以,则在和上为增函数.
（Ⅲ）证明:
假设直线是曲线的切线.
设切点为,则,即
又,则.
所以,得,与矛盾
所以假设不成立,直线不是曲线的切线.
2.已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为;
【解析】（Ⅰ）函数的定义域,
导函数为,
所以,又,
所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由已知,
所以只需证明方程在区间有唯一解.
即方程在区间有唯一解,
设函数,
则,
当时,,故在区间单调递增.
又,
所以存在唯一的,使得,
综上,存在唯一的,使得曲线在点处的切线斜率为.
课后练习
补救练习（20mins）
1.设函数，曲线在点处的切线斜率为,则=__________;
【答案】
【解析】（Ⅰ）
2.已知函数.若曲线在点处的切线方程为,则=___________
【答案】
【解析】
（Ⅰ）因为曲线在点处的切线方程为.
所以,.由得.
3.曲线在点处的切线与直线平行,则.
【答案】2
【考点】本题考查导数的几何意义
【解析】切线斜率
4.已知三次曲线的图像关于点中心对称.
（1）求常数；
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程.
【答案】（1）由题意，若在C上，则同时也在C上，即
，两式相加有
，
即，由于对任何实数t成立，故，即。
（2）有（1）条件知，即，所以。
令是C的切点，则C在该点的切线斜率为4，有C：，得，即。
又，
即，代入c得，
即，解得（无解），所以。
所以，曲线C的方程为。
5.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有以下四个说法：
① 在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；
② 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；
③ 大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④ 在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.
其中，所有正确说法的序号是______.
【分析】本题考查视图能力和分析问题的能力。
【答案】：①④
巩固练习（20mins）
1.若曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为____,该切线方程为_____________.
【答案】3;
【解析】本题考查导数斜率及切线问题
因为曲线在点处的切线方程为,
所以,
又因为曲线
所以,则,,
所以切点坐标为,即切线方程为,
所以切线方程为.
2.设函数，设曲线在点处的切线方程为，求的值.
【答案】依题意，函数在点处的导函数值为，即，令，得，所以或，又，故，又，得，所以。
3.已知函数，其中且.
（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
【解析】
所以,在处切线为
令,则
所以或,所以该切线与的图象总有两个不同的公共点.
4.已知曲线.
（1）求曲线在处的切线的方程；
（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标；
（3）在（1），（2）条件下，设与相交于，与轴的交点为，求的面积.
【答案】
【解析】（1）的斜率为，又时，，所以为过，斜率为—1的直线，其方程为，即。
（2）设切点坐标为，则，得，所以或，又，故，此时，因此直线的方程为，切点坐标为。
（3）由，解得，由的方程可知，所以。
5.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围;
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为..
（1）当时,恒成立,函数在上单调递增;
（2）当时,令,得.
当时,,函数为减函数;
当时,,函数为增函数.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为.
当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,
（1）当时,即时,函数在区间上为增函数,
所以在区间上,,显然函数在区间上恒大于零;
（2）当时,即时,函数在上为减函数,在
上为增函数,所以.
依题意有,解得,所以.
（3）当时,即时,在区间上为减函数,
所以.
依题意有,解得,所以.
综上所述,当时,函数在区间上恒大于零
（Ⅲ）设切点为,则切线斜率,
切线方程为.
因为切线过点,则.
即.①
令,则.
（1）当时,在区间上,,单调递增;
在区间上,,单调递减,
所以函数的最大值为.
故方程无解,即不存在满足①式.
因此当时,切线的条数为.
（2）当时,在区间上,,单调递减,
在区间上,,单调递增,
所以函数的最小值为.
取,则.
故在上存在唯一零点.
取,则.
设,,则.
当时,恒成立.
所以在单调递增,恒成立.所以.
故在上存在唯一零点.
因此当时,过点P存在两条切线.
（3）当时,,显然不存在过点P的切线.
综上所述,当时,过点P存在两条切线;
当时,不存在过点P的切线.
6.已知函数.
（Ⅰ）求的极值;
（Ⅱ）当时,设,求证:曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
【解析】
（Ⅰ）.
令, 得.
①当时,与符号相同,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
②当时,与符号相反,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
综上,在处取得极小值.
（Ⅱ）,
故.
注意到,,,
所以,使得.
因此,曲线在点,处的切线斜率均为.
下面,只需证明曲线在点,处的切线不重合.
曲线在点()处的切线方程为,即.假设曲线在点()处的切线重合,则.
令,则,且.
由（Ⅰ）知,当时,,故.
所以,在区间上单调递减,于是有,矛盾！
因此,曲线在点()处的切线不重合.
综上,曲线存在两条斜率为且不重合的切线
拔高练习（20mins）
1.设是偶函数，若曲线在点处的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为 .
【答案】
2.已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,则直线的斜率等于.
【答案】2
【解析】由题意:,设切点为
则有
化简得:,由韦达定理可知,
因此
3.已知函数，其中,给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；
【解析】（Ⅰ）函数的定义域是，且，且．
当时，曲线存在斜率为的切线．证明如下：
曲线存在斜率为的切线方程存在上的解．
令，整理得，
解得，或．
所以当时，曲线存在斜率为的切线
注：本题答案不唯一，只要均符合要求．
4.设函数若直线是曲线的切线,求的值.
【答案】
【解析】因为,
所以.
设直线与曲线的切点为,
所以,即
又因为,即.
所以.
设
因为,
所以在区间上单调递增,
所以在区间上有且只有一个零点.
因为,即,
所以.
5.已知函数，（）,若直线（）与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.
（i）当时，若，求的值；
（ii）若，求的最大值.
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为.
，.
（ⅰ）当时，，.
因为，所以.
即.
解得.
(ⅱ)因为，则在上有解.
即在上有解.
设，，
则.
（1）当时，恒成立，则函数在上为增函数.
当时，取，
取，,
所以在上存在零点.
当时，存在零点，，满足题意.
（2）当时，令，则.
则在上为增函数，上为减函数.
所以的最大值为.
解得.
取，.
因此当时，方程在上有解.
所以，的最大值是.
6.已知函数，其中是实数，设
为该函数图像上的两点，且。
（1）若函数的图像在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
（2）若函数的图像在点处的切线重合，求的取值范围；
【答案】解:（1）由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有.
当时,对函数求导,得.
因为,所以,
所以.
因此
当且仅当==1,即时等号成立.
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1
（2）当或时,,故.
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即.
两切线重合的充要条件是
由①及知,.
由①②得,.
设,
则.
所以是减函数.
则,
所以.
又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.
故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是第二讲 导数的几何意义与切线
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 求在点和过处的切线方程。
2.已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，求的值;
课中讲解
导数的几何意义：
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．
【注】曲线的切线的求法：求曲线经过点的切线，则需分点是切点和不是切点两种情况求解．
熟悉三句话：切点满足原函数方程，
切点处的导数值等于切线斜率，
切点满足切线方程。
经过定点的切线LV.4
会求切线
核心：找切点
题干出现在的切线，点即为切点，切线方程为
题干出现过的切线，点即为切点，需要分以下几步完成：
第一步：设切点，设出切点坐标；
第二步：写出过的切线方程为；
第三步：将点的坐标代入切线方程求出；
第四步：将的值代入方程，可得过点的切线方程．
切点已知问题（LV3）
例1.
已知函数，求曲线在点处的切线方程;
例2.
已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则
例3．
函数,曲线在点处的切线方程为.则；
例4．
设函数.若曲线在点处的切线与轴平行,则=_________;
例5．
已知函数,其中.曲线在处的切线与直线垂直,求=_______;
例6．
已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.直线的方程（用表示）为__________________;
设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,的面积的最小值为______________.
例7．
设函数在区间内导数存在，且有以下数据：
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 2 1
3 1 4 2
2 4 1 3
则曲线在点处的切线方程是 ;函数在处的切线方程是 ．
例8.
设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例9.
正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
切点未知问题(LV4)
基础公式准备：
高次分解因式（大除法）
例1.
求曲线过点处的切线方程；
例2.
已知直线与函数的图象相切,则切点坐标为.
例3.
曲线在点处的切线方程为_________；过点的切线方程为________
过关检测（10mins）
1. 函数在点处的切线方程为_______________;
2.已知函数则函数的图象在点处的切线方程为___________；
3.已知函数在处的切线方程为,则实数=_______;
4.已知函数，若曲线在点处的切线方程为,则_______;
5. 经过原点(0,0)作函数的图象的切线，则切线方程为________．
会结合图形使用切线斜率LV.4
熟悉三个概念：
平均变化率：对应图形的两点连线的斜率
瞬时变化率：对应图像切线的斜率
平均增长率：，即。
其中为最后一年，为第一年。事实上，考虑，那么就是一个解的过程。
例1.
某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．
某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）
（A）第一年到第三年 （B）第二年到第四年
（C）第三年到第五年 （D）第四年到第六年
【过关检测】(10min)
1.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线，如表示开始交易后第3小时的即时价格为4元；表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2元.下面给出四个图象，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是
（A） （B） （C） （D）
2.数列表示第天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第天的日增长率.当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是
公切线问题LV4
例1.
函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.或
例2.
已知函数,.若曲线与曲线在它们的某个交点处具有公共切线,求的值;
例3.
设函数．若曲线和曲线都过点，且在点P处有相同的切线，求a，b，c，d的值；
例4.
已知函数,函数.已知直线是曲线在点处的切线,且与曲线相切,求的值;
【过关检测】(10min)
1.已知函数,.若曲线在点处的切线与曲线切于点,求的值;
2.已知函数,函数,其中.如果函数与在处的切线均为,求切线的方程及的值;
切线的应用LV6
过某一点做曲线的切线的条数可以转化为零点个数问题
例1.
已知函数.
（Ⅰ）若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;
（Ⅱ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
例1.1
已知函数,直线.求证:对于任意,直线都不是曲线的切线;
例1.2.
设函数，设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；
例2.
已知函数，当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围.
与切线相关的参数范围
例3.
已知函数，求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标．
例3.1
已知函数，若对,直线都不是曲线的切线,求的取值范围.
例3.2．
已知函数，若,直线都不是曲线的切线,求的取值范围;
过关检测（10mins）
1. 已知函数.若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
2.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小值;
（Ⅱ）求函数的单调区间;
（Ⅲ）求证:直线曲线的切线.
2.已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为;
课后练习
补救练习（20mins）
1.设函数，曲线在点处的切线斜率为,则=__________;
2.已知函数.若曲线在点处的切线方程为,则=___________
3.曲线在点处的切线与直线平行,则.
4.已知三次曲线的图像关于点中心对称.
（1）求常数；
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程.
5.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有以下四个说法：
① 在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；
② 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；
③ 大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④ 在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.
其中，所有正确说法的序号是______.
巩固练习（20mins）
1.若曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为____,该切线方程为_____________.
2.设函数，设曲线在点处的切线方程为，求的值.
3.已知函数，其中且.
（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
4.已知曲线.
（1）求曲线在处的切线的方程；
（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标；
（3）在（1），（2）条件下，设与相交于，与轴的交点为，求的面积.
5.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围;
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.
6.已知函数.
（Ⅰ）求的极值;
（Ⅱ）当时,设,求证:曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
拔高练习（20mins）
1.设是偶函数，若曲线在点处的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为 .
2.已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,则直线的斜率等于.
3.已知函数，其中,给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；
4.设函数若直线是曲线的切线,求的值.
5.已知函数，（）,若直线（）与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.
（i）当时，若，求的值；
（ii）若，求的最大值.
6.已知函数，其中是实数，设为该函数图像上的两点，且。
（1）若函数的图像在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
（2）若函数的图像在点处的切线重合，求的取值范围；
