第二讲 数列求通项
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.证明：等差数列通项公式为
2.设数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
3..已知数列满足,设.
（Ⅰ）证明为等比数列;
（Ⅱ）求数列的前项和.
课中讲解
一.会叠加、叠乘求通项LV.4
已知求; 已知求
例1：
中，，，求
例2:
已知数列满足，,求.
例3：
已知数列满足，，求.
例4：
已知数列满足且，
则；.
过关检测（10mins）
1. 若，，求
2.已知数列满足，求数列的通项公式。
3. 在数列中,且,则的值为
（A） （B） （C） （D）
4.已知数列满足，，求.
二. 会通过与的关系求通项求通项LV.4
：已知（即）求，用作差法：
例1:
若 ，求
例2:
数列中，已知，求
例3：
数列的前项和为，满足,
（1）设，求证是等比数列；
（2）设，求证是等差数列；
（3）求的通项公式及前项和为.
例4：
若，，求
例5：
设数列满足，求数列的通项.
例6：若数列，
过关检测（10mins）
1.在中，，求
2.若，求
3.在数列中， 则等于
A. B. C. D.
4.已知数列前项和为，满足，求通项公式
三.会用构造法求通项LV.4
设未知数，得
两边同时除以，得
例1:
已知数列中，，,求.
例2：
已知数列中，,，求
例3：
已知数列中，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
例4：
中，，，求
过关检测（10mins）
1. 已知数列满足,且,则
2. 若，，求
3. 中，，，求
课后练习
补救练习（20mins）
1.若，求
2.若，求
3. 已知数列满足，，求
4. 已知数列满足（），，数列的通项公式为
巩固练习（20mins）
1．在数列中,且,则的值为
（A） （B） （C） （D）
2. 已知数列的前项和满足,其中
求证:数列为等比数列
3. 已知数列满足
求数列的通项公式；
拔高练习（20mins）
1.数列中，已知，求数列的通项公式
2.数列中，已知前项和与通项满足，求
3.已知由整数组成的数列的各项均不为,其前项和为,且满足, .
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的通项公式;
（Ⅲ）若时,求取得最小值,求的值.第2节 数列求通项
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.证明：等差数列通项公式为
【答案】
【解析】由等差数列定义，
则
左边相加=右边相加，得
得
2.设数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
【答案】,,
【解析】（Ⅰ） ∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（Ⅱ） ∵，
∴当 时， ，
∴，即，
∴．
由，得，∴是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴ ，
3..已知数列满足,设.
（Ⅰ）证明为等比数列;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】.
【解析】（Ⅰ）由,得.
所以,即
又因为,
所以数列是以1为首项,公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
所以.
则数列的前项和
.
课中讲解
一.会叠加、叠乘求通项LV.4
已知求; 已知求
例1：
中，，，求
【答案】
【解析】，
由叠加法得， 得
例2:
已知数列满足，,求.
【答案】
【解析】由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
例3：
已知数列满足，，求.
【答案】
【解析】由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，
即
又，
例4：
已知数列满足且，
则；.
【答案】2，
【解析】
叠乘得
过关检测（10mins）
1. 若，，求
【答案】
【解析】
由叠加法得
得
2.已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】
叠加得
得
3. 在数列中,且,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题得
由叠乘法得:,
又,所以,故选
4.已知数列满足，，求.
【答案】
【解析】由条件知，由叠乘法得:,
即
又，
二. 会通过与的关系求通项求通项LV.4
：已知（即）求，用作差法：
例1:
若 ，求
【答案】
【解析】当时，
当时
例2:
数列中，已知，求
【答案】
【解析】当时，
当时
例3：
数列的前项和为，满足,
（1）设，求证是等比数列；
（2）设，求证是等差数列；
（3）求的通项公式及前项和为.
【答案】
【解析】（1）
即：，且
是等比数列
（2）的通项
又
为等差数列
（3）
例4：
若，，求
【答案】
【解析】当时，
当时，
，
例5：
设数列满足，求数列的通项.
【答案】
【解析】由得
两式相减得， ，
例6：若数列，
【答案】
【解析】由得
解得，
过关检测（10mins）
1.在中，，求
【答案】
【解析】时，，
当时，，
，
2.若，求
【答案】
【解析】
为以为首项，为公比的等比数列
即
3.在数列中， 则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 所以
叠乘得
4.已知数列前项和为，满足，求通项公式
【答案】
【解析】
，
时，， 时，
三.会用构造法求通项LV.4
设未知数，得
两边同时除以，得
例1:
已知数列中，，,求.
【答案】
【解析】设递推公式可以转化为
即.
故递推公式为,
令，则,且.
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
则,所以.
例2：
已知数列中，,，求
【答案】
【解析】左右两边同除得，
为等差数列，可得，
，
例3：
已知数列中，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：
数列是首项为2，公比为2的等比数列
（Ⅱ）解：是首项、公比为2的等比数列
故
当时，符合上式，所以数列的通项公式为
例4：
中，，，求
【答案】
【解析】,
为以为首项，为公差的等差数列
则
过关检测（10mins）
1. 已知数列满足,且,则
【答案】
【解析】
是以为首项，为公比的等比数列
2. 若，，求
【答案】
【解析】左右两边同除得，
左右两边同减得，
可得，
3. 中，，，求
【答案】
【解析】
所以 是以为首项，为公差的等差数列
，即
课后练习
补救练习（20mins）
1.若，求
【答案】
【解析】时，
当时，
2.若，求
【答案】
【解析】时，
当时，
3. 已知数列满足，，求
【答案】
【解析】，累乘得，，即
4. 已知数列满足（），，数列的通项公式为
【答案】
【解析】为公差是2的等差数列，，
巩固练习（20mins）
1．在数列中,且,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题得由叠乘法得:
,
又,所以,故选
2. 已知数列的前项和满足,其中
求证:数列为等比数列
【答案】
【解析】证明:因为①
所以当时,当时,②
由①-②,得所以
由,得所以,其中.
故是首项为2,公比为4的等比数列.
3. 已知数列满足
求数列的通项公式；
【答案】
【解析】解：
是以为首项，2为公比的等比数列
拔高练习（20mins）
1.数列中，已知，求数列的通项公式
【答案】.
【解析】因为从而为等比数列
求得 ，
2.数列中，已知前项和与通项满足，求
【答案】
【解析】因为从而由已知得到：即，于是得到，就可以得到：
3.已知由整数组成的数列的各项均不为,其前项和为,且满足, .
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的通项公式;
（Ⅲ）若时,求取得最小值,求的值.
【答案】
【解析】本题考查数列
解:（Ⅰ）因为,所以,即,
因为,所以.
（Ⅱ）因为,所以,
两式相减,得,
因为,所以,
所以都是公差为的等差数列,
当时,,
当时,,
所以.
（Ⅲ）法一:因为,由（Ⅱ）知道
所以
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的,所有偶数项构成的数列是一个单调递增的,
当为偶数时,,所以此时,
所以为最小值等价于,
所以,
所以,
解得.
因为数列是由整数组成的,所以.
又因为,所以对所有的奇数,,
所以不能取偶数,所以.
法二:因为,由（Ⅱ）知道
所以
因为为最小值,此时为奇数,
当为奇数时,,
根据二次函数的性质知道,有,解得,
因为数列是由整数组成的,所以.
又因为,所以对所有的奇数,,
所以不能取偶数,所以.
经检验,此时为最小值,所以.
