2014年中考专题(数学)-修改代数之实数概念和计算问题探讨

【备战中考数学专题讲解】
——代数之实数概念与计算问题探讨
从本讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。
实数的概念和计算，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括实数的概念和实数的计算两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解答题。解答题主要以计算为主。近几年，数字变化类探索规律问题越来越多，对思维的考察已经超过了运算本身。
把握住与实数相关的基本概念和性质是解题的关键，例如互为相反数的两数的关系，互为倒数的两数的关系，绝对值的求值和特点，实数与数轴的关系，科学记数法的表示方法，实数的分类方法，实数的大小比较方法，平（立）方根和算术平方根等。
对于数的运算问题，首先要明白运算的意义和法则，在解题时候要根据题目提供的数据特征，利用举特例、列图表等方式进行纵向和横向的比较，找出数据产生的共性，选择合理的数与式来表示。
对于以计算为主的应用体，要理清数量之间的关系，尤其要注意挖掘隐含条件，列出合理算式。
结合2013年全国各地中考的实例，我们从八方面进行实数的概念和计算问题的探讨：
（1）相反数、倒数、绝对值问题；
（2）数轴问题；
（3）科学记数法和有效数字、近似值问题；
（4）实数的分类问题；
（5）实数的大小比较问题；
（6）平（立）方根、算术平方根和二次根式问题；
（7）实数的计算问题；
（8）数字变化类探索规律问题。
一、相反数、倒数、绝对值问题：相反数、倒数、绝对值的概念：
（1）只有符号不同的两个数叫互为相反数。若a,b两数互为相反数，那么a+b=0。
（2）若两数乘积为1，则这两数叫做互为倒数。若a,b(ab不为0)两个数互为倒数，则ab=1。
（3）绝对值表示点到原点的距离，距离计算必大于0。
典型例题：
1.﹣3的相反数是【 】
A． B． C． D．
2.的倒数是【 】
A. B. C. D.
3. 的绝对值是【 】
A. B. C. D.
4.若x＝1，则＝【 】
A．3　 B．－3 　 C．5 　 D．－5
5.若实数a满足a﹣|a|=2a，则【 】
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
6.若|p+3|=0，则p= .　
二、数轴问题：数轴的概念：规定了原点（origin），正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用
数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。数轴体现了最原始最简单的数形结合方法。其三要素为：原点、方向、单位长度。
数轴与其他概念的关系：在数轴上表示一对相反数（除原点外）的两个点同时具备两个条件：（1）到原点的距离相等，（2）分别位于原点的左右两侧。 数a的绝对值，就是数轴上表示这个点到原点的距离。
典型例题：
1.若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在【 】
A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧
　
2.实数a在数轴上的位置如图所示，则=【 】
A B C D
3.如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是【 】
A．a+b＜0 B．﹣a＜﹣b C．1﹣2a＞1﹣2b D．|a|﹣|b|＞0
4.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是【 】
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．
5.如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有【 】
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
　
6.如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是【 】
A．a＞b B．｜a｜＞｜b｜ C．－a＜b D．a＋b＜0
7.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在【 】
　 A．点A的左边 B．点A与点B之间
　 C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边
8.实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是【 】
A． B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．a+b＞0
　
9.若实数a，b,c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是【 】
A.ac>bc B.ab>cb C.a+c>b+c D.a+b>c+b
在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为　 　．
11.已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是【 】
如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为【 】
A. B. C. D.
三、科学记数法和有效数字、近似值问题：
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。在确定的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，为它的整数位数减1；当该数小于1时，－为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。
有效数字指的是一个近似数的左边第一个不是0的数字开始，一直数到这个数的最后一位的所有数字。判断一个科学计数法表示的近似值中有多少个有效数字，只看a的有效数字，和n 无关。
求近似值最常用的是“四舍五入”，但是在有些特殊情况下不可使用。另外“进一法” 和“去尾法”也经常使用。在一般情况下，无特殊要求就用“四舍五入”。要求保留有效数字，那么先将原数字些成科学计数，再对a进行保留。
典型例题：
1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为【 】
A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104
2.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为【 】
A．25×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．0.25×10﹣5 D．2.5×106
3.百色市人民政府在2013年工作报告中提出，今年将继续实施十项为民办实事工程。其中教育惠民工程将投资2.82亿元，用于职业培训、扩大农村学前教育资源、农村义务教育学生营养改善计划、学生资助等项目。那么数据282 000 000用科学记数法（保留两个有效数字）表示为【 】
A．2.82×108 B．2.8×108 C．2.82×109 D．2.8×109
4.资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值【 】
A．精确到亿位 B．精确到百分位 C．精确到千万位 D．精确到百万位
四、实数的分类问题：
实数的分类有两种分类方法：
1.按正负分：
正整数
正有理数
正实数 正分数
正无理数
实数 零
负整数
负有理数
负实数 负分数
负无理数
2.按有理数和无理数分：
正整数
整数 零
有理数 负整数
正分数
实数 分数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
典型例题：
1.下列各数中正数是【　　】
A．2 B． C．0 D．
　
2.四个数﹣1，0，，中为无理数的是【 】
A．－1 B． 0 C． D．
3.下列各数中，3.14159，，0.131131113…，，，，无理数的个数有【　　】个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数是【　　】个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如果+30m表示向东走30m，那么向西走40m表示为【　　】
A. +40m B. -40m C. +30m D. -30m
下列各数中是正数的为【 】
A．3 B． C． D．0
如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作【 】
A. +30元 B. -30元 C. +80元 D. -80元
8.一运动员某次跳水的最高点离跳台2m，记作+2m，则水面离跳台10m可以记作【 】
　A．－10m B．－12m C．+10m D．+12m
9.在数0，2，－3，－1.2中，属于负整数的是【 】
A．0　　 B．2　　 C．－3　 　 D．－1.2
10.实数，，-8，，，中的无理数是 .
　
五、实数的大小比较问题：实数的大小比较常用的方法有：
1，性质法（正数，负数，0之间比较）；
2，数轴法（右边总比左边大）；
3，平方法（用二次根式表示的无理数大小比较中常用，两正数，平方大的原数大； 两负数，绝对值大的原数小） ；
4，比差法(，a大。）
5，比商法（同号两数相比）
典型例题：
1.在3，－1，0，－2这四个数中，最大的数是【 】
A．0　　B．6　　C．－2　　D．3
下列四个数中，小于0的数是【 】
A.-1 B. 0 C. 1 D.
3.下列四个数中最小的是【 】
A. -2 B. 0 C. D. 5
4.下列各数中，小于－3的数是【 】
A．2 B．1 C．－2 D．－4
下列四个实数中，绝对值最小的数是【 】
A. -5 B. - C. 1 D. 4
请你写出一个大于0而小于1的无理数　 　．
比较大小：-1 2（填“>”或“<”）
8.若a=1.9×105，b=9.1×104，则a　 　b（填“＜”或“＞”）．
9.估计的值在【 】
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
10.若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于【 】
A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间
　
已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　 　．
12.请将2、、这三个数用“>”连结起来 .
13.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 ．
六、平（立）方根、算术平方根和二次根式问题：
数a的平方根，就是一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根。
数a的立方根，就是一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根。
数a的算术平方根，就是一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0。
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
典型例题：
1.16的平方根是 .
2.实数4的算术平方根是【 】
A．－2 B． 2 C．±2 D．±4
3.计算：= .
的立方根是　　　　．
若，则= .
　
6.下列式子中，属于最简二次根式的是【 】
（A） （B） （C） （D）
7.下列各式计算正确的是【 】
A． B．（＞）
C．= D．
8.下列根式中，与是同类二次根式的是【 】
A． B． C． D．
9.化简的结果是【 】
A． B． C． D．
10.化简：=　 　．
　
11.计算： ．
七、实数的计算问题：实数的计算应掌握：
1，实数的运算法则： 对于实数的三级六则运算法则、综合运算法则、去括号法则、添括号法则等，不仅 仅是记住法则本身，最重要的还是灵活应用。其中，第三级运算法则：乘方、开方的运算要注意：负数的奇数次方是负数，偶次方幂是正数；0指数幂和负指数幂的底数不等于0；省略的指数是1，不是0；省略的根数是2，不是0或1；开方运算结果要化成最简根式。
2，实数的运算关系：在实数的各种运算之间，同一级的运算是可以相互转化的，不同级的运算中也存在联系，比如加法和乘法，乘法和乘方。
3，运算律的应用：主要有加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律。
典型例题：
1.气温由－1℃上升2℃后是【 】
A．－1℃　 B．1℃　　 C．2℃　 D．3℃
2.学校教学楼从每层楼到它上一层楼都要经过20级台阶，小明从一楼到五楼要经过的阶梯数是【 】
A.100 B.80 C.50 D. 120
3.某地某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这一天的温差是【 】
A．﹣10℃ B．﹣6℃ C．6℃ D．10℃
比1小2的数是【 】
A. 3 B. 1 C. -1 D. -2
计算
的结果是
。
6.地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏　 　级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍．
　
7.计算：。
计算：.
9.计算：
计算：
11.计算：
12. 计算： 。
八、数字变化类探索规律问题：解答探索数、式的规律问题，一般按照“特殊—一般—特殊”的思维过程，先从简单的 特例入手，寻找共同特征，然后再放到更广泛的范围中去验证或者证明。从而得到一组反映相关共同特征的规律。
常用解题方法有；
列表法——将简单结果用表格反映出来，再进行探索归纳。
举例法——通过举出特殊符合数式规律的例子，帮助探索数、式规律。
类比发现法——通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似数、式所具有的类似性质，从而获得相关结论。
典型例题：
1.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为【 】
A、 B、 C、 D、
2. 给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是【 】
A． B． C． D．
　
3. 2615个位上的数字是【 】
A．2 B．4 C．6 D．8
　
4.任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
5.观察下列等式：
31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…
解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是【 】
A．0 B．1 C．3 D．7
6.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=【 】
A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）
7.观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是　 　．
　
8.观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是
　 　．
　
9. 已知，，，…
依据上述规律，计算的结果为　 　（写成一个分数的形式）
　
10. 把奇数列成下表，
根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是　 　．
11. 在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。已知二进位制与十进位制的比较如下表：
十进位制 0 1 2 3 4 5 6 …
二进制 0 1 10 11 100 101 110 …
请将二进制数10101010写成十进制数为 .
12. 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3﹣2=1
8+7﹣6﹣5=4
15+14+13﹣12﹣11﹣10=9
24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16
…
根据以上规律可知第100行左起第一个数是　 　．
13. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是　 　．
1 2 3 5 8 13 a …
2 3 5 8 13 21 34 …
　
有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为　　
15. 已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为　 　．
　
17. 观察下列各式的计算过程：
5×5=0×1×100+25，
15×15=1×2×100+25，
25×25=2×3×100+25，
35×35=3×4×100+25，
…
请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为 ．
18. 如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是 ．
－4 a b c 6 b －2 …
已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是　 　．
下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…，
那么第n个数是 .
21. 将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是　 　．