第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章 一元函数的导数及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 有一机器人的运动方程为是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
3. 已知，为的导函数，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知，且，则( )
A. B. C. D.
5. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
7. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数，，则
A. B. C. D.
10. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 下列有关导数的说法正确的是( )
A. 就是曲线在点处的切线的斜率
B. 与的意义是一样的
C. 设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D. 设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度
12. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是( )
A. B. C. D.
13. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A. 函数在处取得最小值 B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零
14. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
15. 已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数在时，取得极小值
B. 对于，恒成立
C. 若，则
D. 若对于恒成立，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为 ．
17. 若，则 ．
18. 已知函数，且，则的值为 ．
19. 函数的极大值点为 ．
20. 已知函数在为自然对数的底内有零点，则的最小值为 ．
四、解答题
21.求曲线在处切线的斜率，并求出切线方程．
用导数的定义求函数在处的导数。
22. 求下列函数的导数．
；
；
；
；
．
23. 设函数．
求在处的切线方程
求在上的最大值和最小值．
24. 已知函数．
设是的极值点，求，并求的单调区间；
证明：当时，．
25. 已知函数为非零常数，若有两个极值点、，且．
求实数的取值范围；
证明：．
26. 已知函数．
若恒成立，求实数的取值范围．
若函数的两个零点为，，证明：．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ；
11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 ；
19、 ； 20、
21、解： 函数的导数，
在处切线的切线斜率，
，即切点坐标为，
则对应的切线方程为，
即

，
综上所述，函数在处的导数为．
22、解：，
则
，
则
则
则
则
23、解：由题意知，，即切点为，
又，所以，
所以在处的切线方程为：，即
，
令得，得或，
故的减区间为，增区间为和，
函数的极大值，函数的极小值，
又，，
在上的最大值是，最小值是．
24、解：函数．
，，
是的极值点，
，解得，
，
，显然在上单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增．
证明：当时，，
设，则，
由，得，且在上单调递增，
当时，，
当时，，
是的极小值点，也是最小值点，
故当时，，
当时，．
25、解：，．
因为有两个不同的极值点，所以，函数在上有两个不等的零点，
则
解得．
由可知，，
又由可知，，所以，．
要证，即证，即证，
即证，即证，
令函数，，
，故在上单调递增，
又，所以在上恒成立，即，
所以．
26、解：解：因为恒成立，所以，
即恒成立，
令，则，
易知在上单调递增，且，
所以当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以的取值范围为
证明：，
由题意可知方程的两根为，，
令，则的两个零点为，，
，
当时，，在上单调递增，不存在两个零点
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，得，
设，则，，
因为，所以，，
要证，即要证，即证，
令
，，
则，所以在上单调递减，所以，
因为，所以，
因为，，且在上单调递减，
所以，即，故成立．