2021级数学科高二（下）导数单元检测
理科数学试题
一、选择题
1、若是函数的极值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
2、函数在上的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4、函数的图象大致是
A．B．C． D．
5、已知三次函数的图像如图所示，则__________.
A． B． C． D．
6、已知函数，且，那么下面命题中真命题的序号是（ ）
①的最大值为；②的最小值为；③在上是减函数；④在上是减函数；
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
7、设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8、已知函数的定义域为，其导函数为，且满足对恒成立，为自然对数的底数，则
A． B．
C． D．与的大小不能确定
9、若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数，若，且直线在曲线的下方，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11、设，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12、已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13、定义在的函数的最大值为_________．
14、函数定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是________．
15、过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
16、关于函数，有下列4个结论：
①函数的图象关于点中心对称； ②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为 ④曲线的切线都不过点
其中错误结论为______．
解答题
17、已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
18、已知函数（a为常数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
19、已知函数.
(1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)函数，若使得成立.求实数的取值范围.
20.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
(1)求函数的极值；
(2)证明：.
21.已知函数.
（1）若是的极值点，求的极大值；
（2）若，求实数t的范围，使得恒成立.
22.已知函数；
(1)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最值；
(3)当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系．2021级数学科高二（下）导数单元检测
理科数学试题
一、选择题
1、若是函数的极值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2、函数在上的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4、函数的图象大致是
A．B．C． D．
【答案】D
5、已知三次函数的图像如图所示，则__________.
A． B． C． D．
【答案】A
6、已知函数，且，那么下面命题中真命题的序号是（ ）
①的最大值为；②的最小值为；③在上是减函数；④在上是减函数；
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
7、设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
8、已知函数的定义域为，其导函数为，且满足对恒成立，为自然对数的底数，则
A． B．
C． D．与的大小不能确定
【答案】A
9、若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10、已知函数，若，且直线在曲线的下方，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
11、设，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
12、已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题
13、定义在的函数的最大值为_________．
【答案】
14、函数定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是________．
【答案】
15、过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【答案】
16、关于函数，有下列4个结论：
①函数的图象关于点中心对称； ②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为 ④曲线的切线都不过点
其中错误结论为______．
【答案】②③
【解析】
【分析】①证得，即可判断；②结合零点存在性定理即可判断；③求导，求出导函数的值域即可判断；④结合导数的几何意义与斜率公式即可判断.
【详解】由已知： ，故①正确；
由，（或）知函数在内有零点，故②不正确；
由且当且仅当取等号知：的值域为，故③错误；
若曲线存在过点的切线，设切点为，则由导数的几何意义与斜率公式得：，化简得：，令，则，当时，，当时，，故，所以函数无零点，因此方程无实数解，假设不成立，故④正确.
综上，错误结论为：②③.
故答案为： ②③.
解答题
17、已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
【答案】（1）的递增区间，递减区间，极小值，无极大值；（2）.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减；时，，单调递增
，解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，解得，满足
综上：
18、已知函数（a为常数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，，，在定义域上单调递增．
②当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，不等式在，上恒成立，，，，
令，，，，在，上单调递增，（1），，
的范围为，．
19、已知函数.
(1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)函数，若使得成立.求实数的取值范围.
【解析】 (1)，当导函数的零点落在区间内时，
所以函数在区间上就不是单调函数，所以实数a的取值范围是或.
(2)由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解.
令，，则，∴在上单调递增，
∴，∴在区间上有解
令，则∵，，
，单调递增，∴时， ，，
所以实数a的取值范围是
20.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
(1)求函数的极值；
(2)证明：.
【解析】 (1)，则，，故在处的切线方程，
把点代入切线方程可得，，，，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值.
(2)证明：等价于，
由（1）可得(当且仅当时等号成立)①，
所以，故只要证明即可，(需验证等号不同时成立)
设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，所以当时，.
21.已知函数.
（1）若是的极值点，求的极大值；
（2）若，求实数t的范围，使得恒成立.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1），，由题意可得，，解可得，
∴，
所以，当，时 ，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值；
（2）由得在时恒成立可得，在时恒成立，
令，
则，
令，所以，令，得，
所以当，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最小值，又，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，可得，所以.
22.已知函数；
(1)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最值；
(3)当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系．
【答案】(1)(2)函数在区间上的最大值是，最小值是0(3)
【详解】
（1）因为，所以；因为函数在上为增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，所以.
（2）当时，，当时，，故在上单调递减；当，，故在上单调递增，所以在区间上有唯一极小值点，故，又∵，，因为，所以，即
所以在区间上的最大值是；综上可知：函数在区间上的最大值是，最小值是0.
（3）由（1）可知：当时， 在上为增函数.当时，，则；
即，即当时，对大于1的任意正整数，有；
