2021-2022学年吉林省八年级下学期人教版数学第十七章：勾股定理练习题期末试题选编（含解析）

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·吉林延边·八年级统考期末）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1
2．（2022春·吉林松原·八年级校考期末）如图，在中，点是上一点，连接，，，，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
4．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三条边长之比为1：：
B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3：4：5
D．两个内角分别为40°和50°
5．（2022春·吉林延边·八年级统考期末）如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标在哪两个数之间（　　）
A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4
二、填空题
7．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
8．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
9．（2022春·吉林延边·八年级统考期末）如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是_______．
10．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______．
11．（2022春·吉林延边·八年级统考期末）以三个连续偶数___________，___________，___________为边能构成直角三角形．
12．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是_____．
13．（2022春·吉林松原·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．
三、解答题
14．（2022春·吉林松原·八年级统考期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
15．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．
16．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
17．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝3∶5且AB＝20cm，求边AC的长度．
18．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.
(1)在图①、图②中,以格点为顶点,线段AB为一边,分别画一个平行四边形和菱形,并直接写出它们的面积.(要求两个四边形不全等)
(2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并直接写出它的面积．
19．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）按要求画出图形：
(1)在平面直角坐标系中，已知点和点，在图1中画出线段，线段长为______；
(2)在平面直角坐标系中，已知点坐标为，在图2中，以点为顶点，画一个面积是10的正方形，并标出点的坐标______．
20．（2022春·吉林四平·八年级统考期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积及边上的高．
21．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求的周长．
(2)求的大小．
22．（2022春·吉林松原·八年级统考期末）如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点ABC，使ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，并满足以下要求：
(1)在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）；
(2)在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．
23．（2022春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中， 已知，，，，，求的度数．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意得，，，则是直角三角形，根据勾股定理得，得，即可得．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
即，
∴，
∴，
即点D表示的数为：，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
2．B
【分析】首先在△CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到△CDB为直角三角形，所以∠CDB＝90°，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AD的值，从而求出AB＝AD＋DB＝4.
【详解】解：在△CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝，
∴ BC2＝CD2＋DB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴∠CDB＝90°，∠ADC=90°
在Rt△ADC中，由勾股定理可得，
∴AB＝AD＋DB＝4
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的应用方法是本题的解题关键.
3．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．C
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵12＋（）2＝3＝（）2，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12＋（）2＝4＝22，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180，
解得：x＝15，
∴∠C＝5x°＝75°，
即此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、两个内角分别为40°和50°，所以另一个内角是90°，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形的内角和定理．
5．D
【分析】过点A作AE⊥DM于E，证明△ABM≌△AEM(AAS)，得AE=AB=1，BM=ME，在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，在Rt△CDM中，由勾股定理，得(+x)2=(2-x)2+12，解得：x=2-,然后代入CM=2-x，即可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM(AAS)，
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=,
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
(+x)2=(2-x)2+12，
解得：x=2-,
∴CM=2-(2-)=,
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，作辅助线AE⊥DM于E，是解题的关键．
6．C
【分析】利用勾股定理求出AB＝，从而得出点C的横坐标为，再根据3＜＜4判定即可．
【详解】解：∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
AB＝
∴AC＝AB＝，
∴点C的横坐标为，
∵，
∴
∴
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和无理数的估算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
8．50
【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
9．
【分析】根据已知得出△OHB是直角三角形，得出OH2＋BH2＝BO2，进而求出h，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
设水面的深度为OH＝h米，则荷叶的高度为BO＝（h＋1）米．
由于△OHB是直角三角形，而BH＝3米，
所以 OH2＋BH2＝BO2，
即h2＋32＝（h＋1）2，
解得：h＝4，
所以，h＋1＝5，
故填：5．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．北偏西60°
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【详解】解：甲的路程：，
乙的路程：，
，
甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，
乙客轮的航行方向是北偏西60°，
故答案为：北偏西60°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
11． 6 8 10
【分析】设这三个连续偶数为，x，，根据勾股定理列式求出x即可．
【详解】解：设这三个连续偶数为，x，，
由勾股定理得：，
整理得：，
∵x≠0，
∴x＝8，
∴这三个连续偶数为6，8，10，
故答案为：6，8，10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．76
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴由勾股定理得：AB==10，
∴正方形的面积是10×10=100，
∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，
∴阴影部分的面积是100﹣24=76，
故答案是：76．
考点：勾股定理；正方形的性质．
13．
【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接，
由题意， ，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
14．绳索AD的长度为8.5m
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2，解方程即可．
【详解】解：在Rt△ACB中AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用中的秋千问题，根据题意作出秋千运动前后的图形，构造直角三角形运用勾股定理解答是关键．
15．AC=4.2尺．
【分析】根据题意画出图形，根据已知用AC表示的AB长，然后根据勾股定理，列出AC的方程，解方程即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，
∴AB=10-AC，
∵BC=4尺，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，，即
解得AC=4.2尺．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用条件与解题方法是解题关键．
16．(1)16
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
故答案为：16；
（2）由折叠可知，
∵AC＝12，
∴
设CD＝x，则
在中，
，
∴解得x＝6，
∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
17．cm
【分析】根据BC∶AB＝3∶5可设BC＝3x．AB＝5x，由AB=20cm可求出x，则可求出BC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
【详解】∵BC∶AB＝3∶5
∴设BC＝3x．AB＝5x
∵AB＝20cm
∴5x＝20，解得x＝4
∴（cm）
∵在△ABC中．∠C＝90°
∴
∴（cm）
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求直角三角形的第三边的长，根据比例式设未知数是解题的关键．
18．（1）菱形的面积=4；平行四边形的面积=4；作图见解析；（2）正方形的面积=10，作图见解析.
【分析】（1）根据菱形和平行四边形的画法解答即可；
（2）根据勾股定理和全等三角形，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【详解】(1)如图①②所示：
菱形的面积=4；平行四边形的面积=4；
(2)如图③所示：
正方形的面积=10.
【点睛】此题考查基本作图以及勾股定理的应用，解题关键在于掌握作图法则和熟悉勾股定理和全等三角形等知识.
19．(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据A，B两点坐标，画出图形即可，利用勾股定理求出AB．
（2）画边长为的正方形ABCD即可，根据作图写出点C坐标．
（1）
解：如图1所示，线段AB就是所要画的；
AB=，
故答案为：；
（2）
解：如图2所示，正方形ABCD就是所要画的；
∵AB=，
∴S正方形ABCD=．
由图可得，点C坐标为(4,5)．
故答案为：(4,5)．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
20．(1)为直角三角形，理由见解析；
(2)的面积为13，边上的高
【分析】（1）由勾股定理分别求出、、的长度，再由勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可；
（2）作边上的高，利用等面积法即可求解．
【详解】（1）为直角三角形，理由如下：
每个小正方形方格的边长为1，
，
，
即，
∴，即为直角三角形；
（2）如图，作边上的高，则△ABC的面积=，
∵，
∴的面积==，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键
21．(1)的周长；
(2)
【分析】（1）利用勾股定理分别求出AB，AC，BC的长即可得到答案；
（2）根据（1）中所求，利用勾股定理的逆定理求解即可．
（1）解：∵，，，∴的周长．
（2）解：∵，，∴，∴是直角三角形∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将点A向右平移一个单位长度得到点C，连接BC，即得；
（2）将点A向右平移两个单位长度，再向下平移一个单位长度得到点C，连接BC，即得．
（1）将点A向右平移一个单位长度得到点C，连接BC，△ABC就是所求作的三角形．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴△ABC就是所求作的三角形．
（2）将点A向右平移两个单位长度，再向下平移一个单位长度得到点C，连接BC，△ABC就是所求作的三角形．证明：∵，，，∴，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC就是所求作的三角形．
【点睛】本题主要考查了网格作图，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是熟练掌握在网格中平移点，连线．
23．
【分析】连接BD，根据勾股定理得BD=5，根据勾股定理逆定理得，得∠CBD=90°，根据BD=BC，即可得．
【详解】解：如图所示，连接BD，

在Rt△BAD中，∠A=90°，由勾股定理得，
，
∵
即，
∴∠CBD=90°，
∵BD=BC，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握这些知识点．