4.2等差数列 课时作业（有答案）

4.2等差数列 课时作业
一、单选题
1．数列的前项和为，若点在函数的图象上，则（ ）
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
2．如图，一个质点从原点出发，在与y轴，x轴平行的方向按…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2022秒时，这个质点所处位置的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，满足，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关
5．在等差数列中，若是方程的两根，则的前12项的和为（ ）
A．12 B．18 C． D．
6．《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.“意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（ ）
A．65 B．99 C．133 D．150
二、多选题
7．已知等差数列的前项和为，且，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列中最大项为
8．在数列中，若（，，p为常数），则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．若是等方差数列，则是等方差数列
C．数列是等方差数列
D．若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列
三、填空题
9．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是______．
10．设等差数列的前项和为，若，则______．
11．设为正项数列{}的前n项和，若，则通项公式___________
12．已知等差数列的公差不为零，若正整数m，n满足，则的一个可能的值为___________.
四、解答题
13．已知数列的前n项和为，若．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
14．已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
15．在公差为的等差数列中,已知,.
(1)求；
(2)求.
16．设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若， ，，求所有可能的数列的通项公式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据点在函数的图象上，得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解.
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，
又适合上式，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】方法点睛：1、数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
2．A
【分析】由已知得质点走第1个正方形用时3秒，走第2个正方形用时5秒，…，走第n个正方形用时秒，求得，由此得第2022秒质点在第44个正方形上且在第44个正方形上质点逆时针移动，由此求得这个质点所处位置的坐标．
【详解】解：质点走第1个正方形用时3秒，走第2个正方形用时5秒，…，走第n个正方形用时秒，
∴，
∵，∴第2022秒质点在第44个正方形上．
在第1，3，5，…个正方形上质点顺时针移动，在第2，4，6，…个正方形上质点逆时针移动，
∴在第44个正方形上质点逆时针移动，
所以第2022秒时，这个质点所处位置的坐标是．
故选：A.
3．B
【分析】根据为等差数列可得公差，从而可得的通项，再求出后可得的关系.
【详解】由已知得，所以，即，所以，则公差，所以，则，得，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的通项与前项和的求法，考查了学生知识应用的能力，本题属于基础题.
4．B
【分析】根据等差数列性质可得，代入等差数列的前项和公式计算结果即可.
【详解】解：因为是等差数列，所以，
所以，所以.
故选：B
5．D
【分析】利用韦达定理得出，利用等差数列的求和公式以及等差数列下标和的性质可求得结果.
【详解】因为，是方程的两根，
由韦达定理可得，
所以等差数列的前项的和.
故选：D.
6．C
【分析】由题可得八个孩子分得棉花的斤数构成公差为17的等差数列，由前8项和为996求得，即可求得.
【详解】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，则公差，
从而，解得，
故，
即第五个孩子分得斤数为133.
故选：C.
7．ABC
【分析】由已知可得，再利用等差数列性质即可依次判断.
【详解】，，，故A正确；
又，故B正确；
，故C正确；
由可得{Sn}中最大项为S6，故D错误．
故选：ABC.
8．ACD
【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义依次判断即得．
【详解】对于A，是等方差数列，可得（，，p为常数），即有是首项为，公差为p的等差数列，故A正确.
对于B，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确.
对于C，数列中，，（，），所以数列是等方差数列，故C正确
对于D，数列中的项列举出来是，数列中的项列举出来是，因为，所以，即，所以数列是等方差数列，故D正确.
故选：ACD.
9．
【分析】分析可知，从第二项起，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，求出、，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】解：当时，由题意可知，，故．
当时，，
可得，
上述两个等式作差得，①
所以，②．
由②①，得，
所以从第二项起，数列的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列．
当时，由，得．
若对任意的，恒成立，则，即，解得.
故答案为：.
10．
【分析】由等差数列的性质可得，再由等差数列求和公式即可求出.
【详解】是等差数列，由可得，
即，可得，
则.
故答案为：33.
11．
【分析】当时，求得；当时，可得，则，
两式相减得到，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式.
【详解】由为正项数列{}的前n项和，且，
当时，，可得，解得，
当时，可得，则，
两式相减，可得，
因为，所以，
所以数列{}是以为公差，以为首项的等差数列，
所以.
故答案为：.
12．11（答案不唯一）
【分析】由等差数列的性质得的关系，列出所有符合条件的，代入可得结果.
【详解】由等差数列的性质得且，，，，则符合条件的有，，，，，分别代入，计算得到的结果依次为27，20，15，12，11.故只需要填上述结果中的任意一个即可.
故答案为：11（答案不唯一）.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用与之间的关系，可求出的通项公式，在利用等差数列的定义证明即可.
(2)先通过通项公式判断前5项小于0，第6项以后都是大于0，可以分，
和，两部分进行求和，即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以时，，
由①②相减可得，，，
当时，也满足题意，
故的通项公式为：．
所以时，，
所以时，总成立，
所以数列是等差数列．
（2）因为，
所以，
当时，；当时，，
由(1)中结论可知，当时，；
当时，，
从而．
14．（1）；（2）.
【分析】（1）由和，两式做差可得，可求得的通项公式；
（2）将代入，运用裂项相消求和法即可求得结果.
【详解】（1）取，有解得，或（舍），
取，则，化简有
，由知，
故是首项为，公差为的等差数列，.
（2）因为，所以
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列通项公式列方程，解出公差，再根据等差数列的通项求出通项即可；
（2）先根据，确定的范围，再去绝对值，将和转化为对应等差数列的和，即可得解.
【详解】（1）解：因为,，
所以，
所以；
（2）解：令，则，
所以.
16．（1）；（2）和
【分析】（1）由于题目给定的数列是等差数列，故利用基本元的思想，将已知转化为，由此解得的值并求出通项公式.（2）将题目所给不等式都转化为的形式，化简不等式后利用首项及公差都为整数，求得公差以及的值，进而求得数列的通项公式.
【详解】（1）由得，
又，所以，．
因此，数列的通项公式是．
（2）由得即
由①+②得，即．
由①+③得，即．
所以，又，所以．④
将④代入①②得．又，所以或．
所以，所有可能的数列的通项公式是和．
【点睛】本小题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式.在解题过程中，贯穿前后的是基本元的思想，利用基本元的思想，结合题目所给的已知条件以及等差数列通项公式、前项和公式，对题目已知条件进行化简后，可求得首项和公差，再根据题目的问题进行解答.
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