第4章4.1指数与指数函数同步练习2022——2023学年高中数学人教B版（2019）必修下（有答案）

第4章4.1指数与指数函数同步练习
2022——2023学年高中数学人教B版（2019）必修下
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数
9．设函数（且），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在定义域上的增区间为
C．函数图象经过点 D．函数解析式为
10．定义运算 ，则函数的图像是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数（，且），若，则（ ）
A． B． C． D．
12．给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
13．若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且
C． D．
14．将根式化为分数指数幂是（ ）
A． B． C． D．
15．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．如果指数函数的图象经过点，那么的值为__________.
17．若，则 ________.
18．若，则b＝________.
19．有关部门2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车计划每年的投入量比上一年增加50%，则该市在2025年应投入电力型公交车_________辆．
20．截至2020年年底，世界人口近76亿，若人口的年平均增长率为x%，设2030年年底世界人口为y亿，那么y与x的函数表达式为______．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)已知：，求的值.
22．求下列函数的定义域和值域.
(1)
(2).
23．定义在的奇函数和偶函数满足．
(1)求和的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
24．已知函数的图像经过点．
(1)求的表达式；
(2)用函数单调性的定义证明：函数是上的严格增函数．
25．函数对任意的实数，有，当时，有.
(1)求证：；
(2)若在上为严格增函数，且，解不等式．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】由指数函数的性质可知是上的增函数；根据题意可知，即，再根据函数的单调性，可得，由此即可得到结果．
【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
2．A
【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
3．A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
4．A
【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.
【详解】由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
5．A
【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.
【详解】解：函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．
故选：A．
6．C
【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
7．C
【分析】由奇函数性质可知，由此可得；利用可求得结果.
【详解】由题意知：，解得：，
.
故选：C.
8．D
【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可.
【详解】，，
，
故为偶函数,当时，，是增函数，
故选：D．
9．A
【分析】由题可得，进而可得，然后根据指数函数的性质逐项分析即得.
【详解】由，可得，
所以，故D错误；
所以函数在定义域R上单调递减，
所以，故A正确，故B错误；
又，故C错误.
故选：A.
10．A
【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.
【详解】解：因为运算，
所以，，
所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意.
故选：A
11．A
【分析】利用函数解析式可证明，代入求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以．
因为，所以．
故选：A
12．B
【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可．
【详解】①中，所以①错误；
②错误；
③因为恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则，若n为偶数，则，
所以当n为偶数时，时不成立，所以④错误．
故选：B．
13．C
【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.
【详解】因为函数为指数函数，
则，且，解得，
故选：C
14．A
【分析】利用根式与指数幂的互化直接求解.
【详解】根式化为分数指数幂是.
故选：A
15．C
【分析】将函数表达式表示为分段函数结构，结合指数函数图象可求解.
【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，
时，图象与在第一象限的图象一样，
时，图象与的图象关于轴对称，
故选:C．
16．##0.5
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值.
【详解】设幂函数，已知图象过点，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：.
17．1
【分析】根据算术平方根可解得，代入即可求解.
【详解】因为,
所以，
所以 .
所以.
故答案为：1
18．
【分析】直接解方程即得解.
【详解】因为,
所以
所以.
故答案为：
19．1458
【分析】根据增长指数函数模型求解.
【详解】从2019年起，经过年，投入电力型公交车为辆，
则有，
因为2019年起，经过年，
到在2025年，投入电力型公交车为辆，
故答案为: 1458.
20．
【分析】利用指数幂的运算性质即可求得y与x的函数表达式
【详解】2020年年底，世界人口近76亿，若人口的年平均增长率为x%，
则2021年年底，世界人口近亿；
2022年年底，世界人口近亿；
以此类推，2030年年底世界人口为亿
故答案为：
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；
（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：因为，则，所以，，
所以，，可得，，
因此，.
22．(1)定义域为，值域为；
(2)定义域为，值域为.
【分析】(1)由题意可得，求解即可得函数的定义域，由，可得，即可得函数的值域；
(2) 由，得，即得函数的定义域，由，即得函数的值域.
【详解】（1）解：由，可得，解得，
即函数的定义域为，
又因为，
所以，所以，所以，
即函数的值域为，
综上函数的定义域为，值域为；
（2）解：由，得，
即函数的定义域为；
因为，
所以，
所以函数的值域为，
综上函数的定义域为，值域为.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知可得，与联立即可解出和的解析式；
（2）由已知可得，即，令，可得只需即可，根据基本不等式即可求出；
【详解】（1）因为，①，所以．
因为是奇函数，是偶函数，所以，②
①-②得，①+②得.
（2）不等式化为，
即，令，因为，所以，
故不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以.
24．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据函数的图象经过点列方程可求出的值，从而得解；
（2）任取且， 作差、变形、因式分解，判断差值的正负，再判断的大小，从而可得结论.
【详解】（1）因为函数的图像经过点，
所以，即，
所以；
（2）由（1）可知，
任取且，因为是严格增函数，
所以，，，
则
，
所以，
所以函数是上的严格增函数．
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令即可解决；
（2）由题知原不等式可化为，根据函数单调性解决即可.
【详解】（1）证明：令，
所以，
所以．
（2）由题知，，
所以原不等式可化为，
因为在上为严格增函数，
所以，得，
所以，
因为，
所以，解得，
所以原不等式的解集为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页