6.1 平面向量的概念 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.（数学抽象）
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.（数学抽象）
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.（直观想象）
1.在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
[答案] 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.
2.对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
[答案] 利用有向线段来表示.
3.“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
[答案] 错误.理由：①向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
4.向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
[答案] 向量的模可以为0，也可以为1，但不可以为负数.
5.（1）平行向量是否一定方向相同？
[答案] 不一定；
（2）不相等的向量是否一定不平行？
[答案] 不一定；
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量？
[答案] 零向量；
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
[答案] 平行（共线）向量.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果 ，那么 .( )
×
（2）若 ， 都是单位向量，则 .( )
×
（3）力、速度和质量都是向量.( )
×
（4）零向量的大小为0，没有方向.( )
×
2.下列说法中，正确的有( )个.
①零向量没有方向；
②向量的模一定是正数；
③与非零向量 共线的单位向量是唯一的.
A. B. C. D.
A
[解析] ①错误，零向量有方向，它的方向是任意的；②错误， ；③错误，与非零向量 共线的单位向量有两个，一个与 同向，一个与 反向.故选A.
3.设 为 外接圆的圆心，则 ， ， 是( ).
A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相同的向量
C
[解析] 根据圆的性质可知 ， ， 是模相等的向量.故选C.
4.已知 ， ， 是不共线的三点，向量 与向量 是平行向量，与 是共线向量，
则 ___.

[解析] 因为 ， ， 三点不共线，所以 与 不共线，又因为 且 ，所以 .
探究1 向量的概念
小米：你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？
小明：温度 ，东北风3～4级.
问题1：天气预报中涉及两个量,一个是温度，另一个是风速.温度在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示，风速也可以用一个确切的数表示吗？
[答案] 不可以，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向.
问题2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
[答案] 两个向量不能比较大小.
新知生成
向量与数量
（1）向量：在数学中，我们把既有______又有______的量叫作向量.
（2）数量：把只有______没有______的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、
体积、质量等都是数量.
大小
方向
大小
方向
新知运用
例1 （多选题）下列说法错误的有( ).
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
BCD
[解析] 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个平行的单位向量也可能反向，则不相等，故BCD错误，A正确.
&1& 解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相同向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量平行.
下列结论正确的有____________.（填序号）
（1）若 ， 都是单位向量，则 ；
（2）物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；
（3）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量；
（2）（3）
（4）平面直角坐标系上的 轴、 轴都是向量.
[解析] 对于（1），单位向量的方向不一定相同，（1）错误；对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，（2）正确；对于（3），如图所示，方向为南偏西 的向量与方向为北偏东 的向量在一条直线上，是共线向量，（3）正确；对于（4），平面直角坐标系上的 轴、 轴只有方向，没有大小，不是向量，（4）错误.
探究2 向量的几何表示及应用
在同一起点，老鼠以 的速度向东跑，猫以 的速度向西追.
问题1：猫能否追上老鼠？
[答案] 不能，因为老鼠逃窜的方向与猫追逐的方向相反，所以猫不可能追上老鼠.
问题2：向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
[答案] 可以用一条有向线段表示.
问题3： 的模是多少？ 有方向吗？
[答案] 的模为0，方向任意.
新知生成
1.具有______的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三
个要素：______、______、______.
2.向量 的大小称为向量 的______（或称模），记作_____.长度为0的向量叫作零向
量，记作 .长度等于___个单位的向量叫作单位向量.向量也可以用字母 ， ， ， 表
示.
方向
起点
方向
长度
长度


新知运用
例2 一辆汽车从 点出发向西行驶了100千米到达 点，然后改变方向,向西偏北 方向
行驶了200千米到达 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达 点．请作出 ,
, ．
方法指导 作图既要考虑向量的模的大小，又要考虑其方向和起点，为此应先建立坐标系，再根据行驶方向确定有关向量．
[解析] 作出向量如图所示.
&2& 向量的两种表示方法
（1）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.
（2）字母表示法：为了便于运算，可用小写字母 ， ， 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用有向线段的起点与终点表示向量，如 ， ， 等.
在如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长为1.在图中画一个以 为起点的
向量 ，使 ，并说出向量 的终点的轨迹是什么？
[解析] 向量 如图所示，由平面几何知识可知，所有这样的向量 的终点的轨
迹是以 为圆心，半径为 的圆.
探究3 相等向量与共线向量
小明沿着篮球场的边缘，从 点走到 点，又从 点走到 点.
问题1：上述问题中，向量 和向量 相等吗？它们共线吗？
[答案] 因为向量 和向量 方向不同，所以它们不相等.因为表示它们的有向线段在同一直线上，所以它们共线.
问题2：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行、共线相同吗？
[答案] 不相同，由相等向量的定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
问题3：若 ， ，则一定有 吗？
[答案] 不一定.因为当 时， ， 可以是任意向量.
新知生成
1.平行向量：方向____________的非零向量叫作平行向量（也叫作共线向量）.
向量 ， 平行，记作 .
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.
用有向线段表示的向量 与 相等，记作_______.
相同或相反
相等
相同

新知运用
例3 如图所示， 的三边均不相等， ， ， 分别是 ， ， 的
中点.
（1）写出与 共线的向量；
（2）写出模与 的模相等的向量；
（3）写出与 相等的向量.
[解析] （1）因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， .
又因为 是 的中点，
所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .
（2）模与 的模相等的向量有 ， ， ， ， .
（3）与 相等的向量有 ， .
&3& 相等向量与共线向量的探究方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
如图所示， 是正六边形 的中心.
（1）与 的模相等的向量有多少个？
（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
（3）与 共线的向量有几个？
[解析] （1）与 的模相等的线段是六条边和六条半径（如 ），而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
（2）存在.由正六边形的性质可知， ，所以与 的长度相等、方向相反的向量有 ， ， ， ，共4个.
（3）由（2）知， ，线段 ， 与 在同一条直线上，所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个.
1.某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进 米，则此人位移的方向是
( ).
C
A.南偏东 B.南偏东 C.南偏东 D.南偏东
[解析] 如图所示，此人从点 出发，经由点 ，到达点 ，则
， ，
即位移的方向是东偏南 ，即南偏东 .
2.设 是正方形 的中心，则向量 ， ， ， 是( ).
D
A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 如图， ， ， ， 既不全是相等向量，也不全是平行向量，起
点也不全是相同，故A，B，C错误；
而 ，故D正确.
故选D.
3.（多选题）下列说法错误的有( ).
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若 ，则一定有直线
D.若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 可能不在同一直线上
ABC
[解析] A错误，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错误，相等向量的起点和终点都
可能不相同；C错误，直线 与 可能重合；D正确， 与 可能平行，则 ， ，
， 四点不共线.
4.如图所示，小正方形的边长为1，则 _____， _____， ___
__.



[解析] 由题意可知， ，
，
.