绝密★考试结束前
2022 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一 . 选择题(每题 5 分，共 40 分）
1. 角 终边上有一点 P ( 1,2)，则cos （ ）
1 2 5 5
A . B . 2 C . D .
2 5 5
2．曲线 y x ln x 1 在点（2，0）处的切线方程为 （ ）
A . y 2x 4 B. y 2x 4 C. y x 2 D. y x 2
0 0
3. 在三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c 已知 A 60 ,a 2, B 45 ，则b （ ）
2 3 2 2 2 6 3A. B . C. D.
3 4
n
4 . a b 2n 2 展开式中第 6 项的二项式系数最大，则 x 展开式中 x的系数为
x （ ）
A . 10 B . 10 C. 5 D. 5
cos 3 sin 2 cos
2
5 . 已知 为第三象限角， ，则
5 1 cos 2 （ ）
20 4 15 33
A . B. C . D .
9 9 32 32
6. 已知 5 个医生（其中有一对夫妻）分配到 3 个地区，要求每个地区至少一个医生，则这对夫妻分
配到同一个地区的概率为 （ ）
3 6 9 12
A . B . C. D.
25 25 25 25
7．函数 f (x) ex a cos x， x ( π, )，下列说法不正确的是 （ ）
A．当 a 1时， f (x)无极值点 B．当 a -1时， f (x)存在唯一极小值点
C．对任意 a 0， f (x)在 x ( π, )上不存在极值点
D．存在 a 0， f (x)在 x ( π, )上有且只有一个零点
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B 9, 1 8. 已 知 随 机 变 量 若 对 任 意 的 实 数 x , x m, 满 足 当 x x时
3 1 2 1 2 ， ，，
x1 ln x2 x2 ln x1 D( )恒成立，则m 的取值范围
x x （ ）1 2
A . e
2 , B. e3 , C. e, D. e,e2
.
二 .多选题 (每题 5 分，少选得 2 分，多选不给分，共 20 分）
9.2023 春节档期有流浪地球 2，满江红，深海，无名，交换人生 5 部电影，现采用抽签法决定放映
顺序，记事件 A：“满江红不是第一场，无名不是最后一场”，事件 B：“深海是第一场”，则下列结
论中正确的是 （ ）
P A 13 C. P AB 3 3A. 事件 B 包含 144 个样本点 B. D. P B | A 20 20 26
10.下列等式正确的是 （ ）
A. sin150 cos150 1 B. 2sin 2 22.50 2 1
4 2
3 tan710 tan 260
C. sin 260 cos340 cos260 sin340 D.
2 1 tan 710 tan 260
1
4
11. 1 x 2 1 1 的展开式中x （ ）
A. 各项系数之和为 64 C. 常数项为 15
1
B. x的系数为 6 D. x 的系数为 16
12．已知 x , ，函数 f x cosx
x2
，则下列说法正确的有 （ ）
1
A． f x 的图象关于原点对称 B． f x 有 3 个极值点
C． f x 在 0 , 上单调递增 D． f x 的最大值 1
2
非选择题部分
三 . 填空题（单空每空 5 分；多空题一空对得 3 分，全对 5 分，共 20 分）
13. (1 ax)5 a0 a1x a2x
2 a3x
3 a 4 54 x a5x 所有项的系数和为 32，则 a ________；
则 a1 a3 a5 =_________。
14 . f (x) f (2) ln x x 2 ，则 f (2) ___________。
15. 分别在即，5 位同学各自写了一封祝福信，并把写好的 5 封信一起放在心愿盒中，然后每人在
心愿盒中各取一封，不放回。设 X 为恰好取到自己祝福信的人数，则 E（X)=__________。
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16 . 镜湖春游甲吴越，莺花如海城南陌。四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古镇，
千年水利工程它山堰就在此处。时间有限，小明打算游览 6 个景点，上午 4 场，下午 2场。其中
它山堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻。其中上午第 4 场和下午第 1场不算相邻，则不
同的游览方式有________种。
四．解答题（17 题满分 10 分，其余各题满分 12 分，共 70 分）
n
17. 已知在 x a 3 x 展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，第 4 项的系数是第 3项的二
项式系数的 16 倍。
（1）求 n 和 a ； （2）求展开式中系数最大的项；
（3）求 1 x 3 1 x 4 ... 1 x n 3展开式中含 x 的项的系数。
18.已知函数 f (x) 2sin xcos x 2 3sin 2 x 3
（1）求函数 f (x)的最小正周期、单调递增区间及最值；
（2）若 A为锐角 ABC的内角且 f (A) 3,a 2 3，求 ABC面积的最大值。
x
19、已知函数 f x e ax
（1)求 f x 的的单调区间；
(2)当 x 0, ， f x 0恒成立，求 a的取值范围。
20. 若新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生
必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、
生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生
中随机抽取 12 名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他
们的选择互不影响。
（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率；
（2）已知抽取的这 12 名考生中，女生有 3 名．从这 12 名考生中随机抽取 3 名，记 X 为抽取到的女
生人数，求 X 的分布列与数学期望。
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21 .为了迎接 4 月 23 日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖
励规则如下，得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分
在[90，100）内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机
抽取 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图。
（1）求 a 的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖
的概率；
（2） 若我市所有参赛学生的成绩 X近似服从正态分布 N （μ，σ2），其中σ≈15，μ为样本平均
数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若我市共有 10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79 分的学生数（结果四舍
五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3 名学生进行访谈，设其中竞赛成
绩在 64 分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列、均值。
2
附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 N（μ，σ ），
则 P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，
P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
2
22.已知 a 0，函数 f (x) xa ln x a ，其极大值点为m，极小值点为 n
（1） 若a 1，求f (x)的极小值；
（2） 求 f (m)的最小值；
（3） 互不相等的正数 x ，1, x2 , x3 满足f x1 f x ， ，证明2 f x3 当x1 x2 x3
x .x e2a2 3 。
高二数学学科 试题 第 4页(共 4页)2022 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一．单选题（每题 5 分，共 40 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C A D B C B
二．多选题 （多选不给分，少选得 2分，全对每题 5 分，共 20 分）
9 10 11 12
B C ACD ABC B D
三．填空题（13 题一空对 3 分，两空都对得 5 分，其余单空 5 分，共 20 分）
13. ___1________ _____16________
14. __________8ln 2 4 ______
15. __________1______
16. ____________444_____
四 解答题（17 题满分 10 分，其余各题满分 12 分）
17.(1) 2n 256 n 8........1分
a3C38 16C
2
8 a 2........3分
C k 2k C k 12k 1
(2)设第k 1项系数最大则 8 8k k k 1 k 1.......4分C 2 C 8 8 2
8! 8!
2
k !(8 k)! (k 1)!(9 k)!
5 k 6且k N.......6分
8! 2 8!
k !(8 k)! (k 1)!(7 k)!
19
系数最大项为T 1792x 66 和T7 1792x
3........7分
(3)C3 C3 C3 C3 C3 33 4 5 6 7 C8 C
4 C34 4 C
3
5 C
3 C36 7 C
3 C 48 9 126.......10分
18.（1） f (x) 2sinxcosx 2 3sin2x 3 sin2x 3cos2x
2sin(2x ) .................................2分
3
故函数 f (x) 2 的最小正周期T . ................................3分
2
5
由 2k 2x 2k （k Z )得 k x k (k Z ) .
2 3 2 12 12
f (x) k ,k 5 ∴函数 的单调递增区间为 ， k Z .....................5分 12 12
∴ f (x)max 2, f (x)min 2 .................................................7分
（2）由 f (A) 3得 2sin(2A ) 3解得 A 或A （舍）................9分
3 3 2
b2 c2 a2 1
由余弦定理 cos A ，cos A ，解得b2 c2 12 bc
2bc 2 ......................... 10分
b2而 c2 2bc，得bc 12，
1
则 S bcsin A 3 3，当且仅当b c 2 3 时，S取得最大值3 3
2 ..................12分
19.(1) f x 的定义域是 , ， f′ x ex a…..........................................2 分
①当a 0，f′ x 0成立，f x 的单调增区间为 , …....................3 分
②当a 0时
令f′ x 0，得x ln a,则f x 的单调增区间为 ln a, …...........................4 分
令f′ x 0，得x ln a,则f x 的单调减区间为 , ln a …......................5 分
综上所述，当a 0，f x 的单调增区间为 , ；
当a 0时，f x 的单调增区间为 ln a,
f x 的单调减区间为 , ln a ......................6 分
ex
(2)当x 0，+ 时，f x =ex ax 0成立，即x 0时，a 成立
x ..........7 分
ex
设g x = ，
x
x x x 1 ex
设g′ x xe e = 2 = 2 …........................................................9 分x x
当x 0,1 时，g′ x 0，函数g x 在 0,1 上为减函数 10 分
...........
当x 1，+ 时，g′ x 0，函数g x 在 1，+ 上为增函数 …11 分
则g x 在x=1处取得最小值，g 1 =e，则a e
综上所述，x 0, 时，f x 0成立的 a的取值范围是 ,e …12 分
20.解：（1）考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科，共有 种，
其中考生选择了地理作为再选科目，共有 种，
故考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率 P＝ ． .............5分
（2）由题意可得，X所有可能取值为 0，1，2，3， ............. 6分
P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ，P（X＝3）＝ ，
故 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
...............10分
故 E（X）＝ ． .................12分
21（1）a=0.034 ...........................2分
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有 6人，获二等奖的有 8人，获三等奖的有 16人，
共有 30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 ，设“抽取的两名学生中恰有一
名学生获奖”为事件 A，
则事件 A包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以 P（A）
＝ ＝ ，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为 ....................5分
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018
×10+65×0.034×10
+75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10＝64，
则所有参赛学生的成绩 X近似服从正态分布 N（64，152），
（i）因为μ+δ＝79，所以 P（X＞79）≈ ＝0.15865， ...........7分
故参赛学生中成绩超过 79分的学生数约为 0.15865×10000＝1587． ...........8分
（ii）由μ＝64，得 P（X＞64）＝ ，即从所有参赛学生中堕机抽取 1名学生，该生竞赛成绩在
64分以上的概率为 ， 所以随机变量ξ服从二项分布 B（3， ），
所以 P（ξ＝0）＝ （ ）3＝ ，P（ξ＝1）＝ （ ）3＝ ，P（ξ＝2）＝ （ ）3＝ ，P
（ξ＝3）＝C （ ）3＝ ，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
.......................10分
均值 E 0× +1× +2× +3× ＝ ．
或 E np 3
2 ................. 12分
22.（1） x 0, , f (x) ln x 1 2 2 ln x 1 ln x 1 ln x 1 ............1分
1 1
x 0, 1 ,ee e
e
e, e
y
+ 0 - 0 +
- f x
4
增 e 减 0 增
...............3分
y 0
极小值 .....................4分
（可以不画表格，说明单调性也可给分）
a 1
（2） f x ax ln x a ln x
2
a
a 5分........................................
a 2 a 2
2
a
f (x) 4e的极大值点为e a , y f e a 极大值 e2a2 ，.......................................6分
t a2 e
t et t 1
0,g t ,g t 令 t t 2 ，
g t 在 0，1 上单调递减，在 1， 上单调递增，g t g 1 e由 min
f m 4 min e ................................................8分
a 2
e a x ea , x ea
（3）由题意得 2 3
e2a a 2 e2a 2a
a
ea 当e ae
a 2 ，则 a lnx
2
x2 x x
e2a
a
x , xa e
2a 2a
, f x f (
e )
x x x 10分. ..........................................
e2a 2a
f x2 f f x3
e
f
x ，即 x ......................................11分2 2
2a
f (x)在 ea , e上单调递增， x 又因为 3 x2
x .x e2a2 3 .............................. 12分
