湖南省邵阳市第二高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

邵阳市第二高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
时间：120min　满分：150分　
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合,，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
8．已知、是双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）
9．以下说法正确的是（　　）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B．具有相关关系的两个变量的一组观测数据，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点中的一个点
C．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件满足，，且，则事件与不互斥
10．已知数列、，下列说法正确的有（　　）
A．若，则为递减数列
B．若，，则为等比数列
C．若数列的公比，则为递减数列
D．若数列的前项和，则为等差数列
11．已知，则下列说法中正确的有（　　）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
12．如图，在正方体中，点是棱上的动点（不含端点），则（　　）
A．过点有且仅有一条直线与，都垂直
B．有且仅有一个点到，的距离相等
C．过点有且仅有一条直线与，都相交
D．有且仅有一个点满足平面平面
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，若，则________．
14．若直线与圆相切，则实数________．
15．为维护国家海洋安全权益，我国海军的5艘战舰出海执行任务，有2艘是驱逐舰，3艘是护卫舰，在一字形编队时，3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是________．
15．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）已知的内角所对的边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．（12分）近年来，凭借主旋律电影的出色表现，我国逐渐成为全球电影票房最高的市场．2022年十一期间热映的某主旋律电影票房超过16亿元．某研究性学习小组就是否看过该电影对影迷进行随机抽样调查，调查数据如下表（单位：人）．
是 否 合计
青年（30岁以下） 45 5 50
中年（30岁（含）以上） 35 15 50
合计 80 20 100
（1）是否有的把握认为选择看该电影与年龄有关
（2）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人，记其中看过该电影的人数为，求随机变量的数学期望及方差．
附：，其中．
19．（12分）在数列中，，前项和为，且．
（1）若数列为等比数列，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和．
20．（12分）如图，四棱雉中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设二面角为，，，求三棱雉的体积．
21．（12分）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，抛物线过点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知直线与抛物线交于两点，且，证明：直线过定点．
22．已知函数．
（1）讨论的单调性和最值；
（2）若关于的方程有两个不等的实数根，，求证：．
高二数学期中考试数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13．4 14．-3或7 15． 16．
17．（1）由整理得，
，由，；
（2），由正弦定理得，①，
又，②，
由①②得，，．
18．（1）解：因为，
所以没有的把握认为选择看该电影与年龄有关；
（2）解：由题意知，看过该电影的频率为，
将频率视为概率，则，
所以随机变量的数学期望为，方差为．
19．（1）因为，所以当时，则有，
两式相减可得：，所以，因为数列为等比数列，
所以，也即，所以．
（2）由（1）可知：，，
所以，
所以，
即①
所以②
①减②可得：，
所以．
20．（1）证明：连接交于点，连按．
因为底面为矩形，所以点为的中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，
设是平面的法向量，
则，解得：，
令，得，
又因为是平面的一个法向量，
所以，解得，
所以．
21．（1）因为抛物线过点，
，解得，
抛物线的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为，，
联立，化为，
，
，，
，
，，
解得，满足，
直线的方程为，直线过定点．
22．（1），其中
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值．
若，当时，；
当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值．
（2）方程即为，
故，
因为为上的增函数，所以
所以关于的方程有两个不等的实数根，即为：
有两个不同的实数根，．
所以，，所以，
不妨设，，故，
要证：即证，
即证，即证，
即证，
设，则，
故，所以在上为增函数，
故，所以在上为增函数，
所以，故成立．