新建二中 2022—2023 学年度下学期 4 月份学业水平考核 2 π 17．已知函数 f (x) 2cos x ，( 0)在 0, π 上恰好有 7个零点，则 的取值范围是（ ）
高一数学 12 2
41 ,15 49 23 41 15 49 23考试范围：必修二第一，第四章时 量： 120分钟 A． B C D
． ， ． ， ． ， 12 4 12 4 12 4 12 4
总 分：150分 8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 ABC
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 的斜边 AB、直角边 BC、AC，N为 AC的中点，点 D在以 AC为直径的半圆上，已知以直角边 AC，
目要求的 . 3
1．计算 sin48 cos18 cos48 cos72 BC为直径的两个半圆的面积之比为 3， sin DAB ，则 cos DNC的值为（ ）的结果等于（ ） 5
A 1 B 3 2 3． 2 ． C． D．3 2 2
2．下列命题中正确的是（ ）
A．单位 向 量 都 相等 B．相等向量一定是共线向量
C．若 a //b,b // c，则 a / /c D．任意向量的模都是正数
1 2sin cos A 24 3 7 B 24 3 7 7 3 24 7 3 243 ． ． C． D．．已知 tan ，则 （ ）
2 sin 3cos 50 50 50 50
2 1 1 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，A． 3 B．0 C． 2 D． 2 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
π 1 π 9．下列各式中，值为 1的是（ ）
4．已知 sin ，则 sin 2 （ ） 2 1 tan15 6 4 6 A． 4cos 15 2 B． 4sin15 sin75 C． 2(cos15 sin15 ) D．
1 tan15 7 7
A 1． B 15． C． D． 10．下列各式中能化简为 AD的有（ ）2 8 8 8 A．MB AD BM B． AD MB BC CMx 5．函数 y e sin x 在区间 2 , 2 上的图象大致是（ ）
C． AB CD BC D．OC OA CD
11．已知函数 f x sin nπ 2x 2cos2 x， n Z，则下列说法正确的是（ ）
2
A． B．
A．当 n 1时， f x 3π 图象的一个对称中心为 ,14
B．当 n为奇数时， f x 的最小正周期是 π
C．当 n为偶数时， f x 1 2max
D．当 nC D 为偶数时， f x
在 ,
3
． ． 8 8
上单调递减
12．已知函数 f (x) (sin x cos x)( sin x cos x)，说法正确的是（ ）
A． f (x)
π
在区间
0, 上单调递增；
6．函数 y lg 2sin x 1 的定义域为（ ）． 2
x kπ π x kπ 5π π 7π
f (x) x π kπ(k Z)
A． , k Z B． x kπ x kπ , k Z
B． 的对称轴是 ；
4
6 6 6 6
C．若 f x1 f x2 3，则 x1 x2 2kπ(k Z)；
π 5π π 7π
C． x 2kπ x 2kπ , k Z D． x 2kπ x 2kπ , k
Z 3
6 6
6 6
D．方程 f (x) 0在 x [ 2π,2π]的解为 x1，x2， ，x2 n
，且 x1 x2 xn π .
1
三．填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. π π
f x tan x sin x 1 f b 2 f b 20．函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示．13． ，若 ，则 ______． 3 2
14．若 x 0,
π 4 1
，则 2 2 的最小值为__________. 2 sin x cos x
15．求值： sin 20 sin 40 sin 60 sin80 __________.
sin πx, x 0, 2
16．已知函数 f (x) log (x 2) , x (2, )，若存在非零实数 k满足 2
f a f b f c f d k(a,b,c,d互不相等 )，则 a b c d的取值范围是__________. (1)求函数 f x 的解析式；
四．解答题：本题共 6小题，17题 10分，剩下每题 12 分.共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
. g x 2 f 2 x a π , 7π 程或演算步骤 (2)若函数 在区间 上恰有3个零点，求 a的取值范围．
17 3 2 12．计算下列两个小题
25π 10π
(1)计算 sin cos tan
13π
6 3 4
；
sin π π 1 3
(2) P ,
cos tan π
已知角 终边上有一点 ，求 2 2 的值．
2 2 tan π sin π
21．设函数 f x cos 2ωx ( 0,0 π) π，将函数 f x 的图象向左平移 单位长度后得到函
12
数 g x 的图象，已知 g x 的最小正周期为 π，且 g x 为奇函数.
(1)求 f x 的解析式；
π 2
(2)令函数 h x 2g x 3cos22x m 3对任意实数 x , π ， 恒有 h x 0，求实数m的取值1 1 π π 6 3
18．已知 tan , tan ，且 0, , , π ．2 7 4 2 范围.
(1)求 tan 的值；
(2)求2 的值．
22．已知函数 f x a sinx cosx 4sin2x 9 f π ，且 13 9 2 .
19．已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 . 4
(1)求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间； (1)求 a的值，并求出 y f x 的最小正周期（不需要说明理由）；
π
(2)求函数 f (x)在区间[
5π , π ]的值域； (2)若 x 0, ，求 y f2 x 的值域；12 6
(3)是否存在正整数n，使得 y f x 在区间 0,nπ 内恰有 2025个零点，若存在，求由 n的值；若不
存在，说明理由．
2新建二中 2022—2023 学年度下学期 4 月份学业水平考核 1 1
tan tan 1
高一数学答案 18．【详解】（1）由题意可得： tan tan 2 7 1 tan tan 1 3.
一．选择题（每小题 5分，共 12小题，计 60分） 1 14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1
1 tan tan
选项 A B B C B D A A BC BCD ACD AD （2）由（1）可知： tan ，则 tan 2 tan 2 3 1，3 1 tan tan 1 1 1
2 3
三．填空题（每小题 5分，共 4小题，计 20分）
0 π π ππ π∵ ， ，则0 2 ， π ，
13 0 14 9 15 3 16 15 4
2 2 2
． ． ． ． (7, )
2 2 3π可得 π 2 0，故 2 .
sin πx, x 0, 2 4
【详解】函数 f (x)
log2 (x 2) , x (2, )
的图象如下图所示： 3 1 π
19．【详解】（1） f (x) 3sin2x cos2x 2 sin2x cos2x 2sin 2x ，
2 2 6
f x T 2π π∴函数 的最小正周期为 π .令 2kπ 2x π π 2kπ k Z π π， ，则 kπ x kπ2 ， k Z，2 6 2 6 3
π π
所以单调递增区间为[ kπ, kπ]， k Z .
6 3
x [ 5π , π（2）∵ ]
π
，则 2x [ π,
π ]，∴ 1 sin 2x
π 1
，
12 6 6 6 6 2
存在实数 k 0,1)满足 f a f b f c f d k(a,b,c,d互不相等 )，不妨设 a b c d，则由图可知 a,b关于
2 2sin π1 ∴ 2x
1
5π π
，故函数 f x 在区间[ , ]的值域为[ 2,1] .
x 对称，所以a b 1； 6 12 6
2 π
5 5 20．【详解】（1）令 h x f x Asin x ，
当0 k 1时，因为 log2 (x 2) 1解得 x 或 x 4，故而 c 3，3 d 4，且由图可得 log2(c 2) log2(d 2)， 3 2 2 5π π 2π 2π
1 1 由图象可知： A 2，最小正周期T 4 ， 3，
即 d 2 ，可得 d 2， 18 9 3 T
c 2 c 2 5π
1 1 h 2sin
5π
2 5π π 2kπ k Z π 2kπ k Z
所以 c d c 2 c 2 4 18 ，则 ，解得： ，6 6 2 3
c 2 c 2
t 1
π π
t c 2 ,1 c d t 1 4 t
1 ,1 13 15 又 ， ， h x 2sin
3x π ，
设 ，则 ， 在 上单调递减，所以 c d (6, )，所以 a b c d (7, )，
2 t 2 2 2 2 3
3
π π π π π
综上所述 a b c d (7,
15) f x h x 2sin 3 x 2sin π 3x 2sin； 3x .
2 3 3 3 3 3
四．解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）
（2）由（1）得： g x π π 7π π 4π 5π 4sin 2x a ，当 x , 时， 2x , 3 2 12 3 3 6
，
17【详解】（1） sin
25π
cos10π 13π π 2π π tan sin 4π cos 4π π 4π 5π
6 3 4
tan 3π
6 3 令 t 2x ，则m t 4sin t
在 t , 上与 y a恰有3个交点，
4 3 3 6
sin π cos 2π tan π 1 1 1 2 作出m t y a
6 3 4 2
与 的图象如下图所示，
2
1
1 3 2 1 P , cos （2）因为角 终边上有一点 ， 2 ，
2 2
2 2
1 3
2 2
sin
π
cos
π
tan π
所以 2 2 cos sin tan 1 . y a
tan π sin π tan m t 4sin t sin 2 由图象可知：当 2 3 a 2时， 与 恰有3个交点，
g x π , 7π 即若 在 上恰有3个零点，则 a的取值范围为 2 3, 2 . 2 12
1
π 5
21．【详解】（1）由题可知，将 f (x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象． 令 4t2 9t 5 0，得 t 1或 t 1, 2 ，12 4
则 g(x) cos
2
x π π π cos
2 x
π
， 此时 x 0, ，或 x x
π
0 0 x0 或 x x
π 5 2
0，其中 sin x ，
12 6 2 4 2 0 4 8
由 g(x)
2π π π π π
的最小正周期为 π，得 π, 1由 g(x)为奇函数可得 kπ，即 kπ，因为0 π，所以 当 x ,π 时， f x 9 sinx cosx 4sin2x 92 6 2 3 ． 2
π
π ．所以 f (x) cos
π
3
2x ． t sinx cosx 2sin 3 设 x
,t 1, 2 2
，则 ， 4
sin2x 2sinxcosx 1 t
（2）由（1）得 g(x) sin 2x， 于是 f x 9 sinx cosx 4sin2x 9 4t2 9t 13，
所以 h(x) 2g(x) sin x m 3 2sin 2x 3cos2 2x m 3 3sin2 2x 2sin 2x m，
令 4t2 9t 13 0，
根据 h(x) 0
π 2
恒成立，可得m 3sin2 2x 2sin 2x对任意实数 x , π 恒成立； t
13
6 3 解得 t 1或 1, 2 4 ，
1 2 1 π
令 t sin 2x, r(t) 3t2 2t 3 t ， 故 f x 在 x , π 没有实根．
3 3 2
x π 2π π 4π
3 3 综上， f x 0在 0,π 上有 4个零点，
因为 , ，所以 2x , ，根据正弦函数单调性可得 sin 2x ,1 ，即 t ,16 3 3 3 2 2
，
又 f x 的最小正周期为T π，而 2025 4 506 1，
1 所以函数在 0,506π 有 2025个零点
再根据二次函数单调性可得 r(t) ,5 3
因此m 5．即实数m的取值范围为 5，
22．【详解】（1）函数 f (x) a sin x cos x 4sin 2x 9，
f π ∵ 13 9 2，
4
∴ a sin
π
cos π 4sin
π
9 13 9 2 ，解得：a 9，
4 4 2
所以 f x 9 sinx cosx 4sin2x 9，
因为 sin x、cos x、sin 2x的周期是都 π，
又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，
所以函数 f x 的最小正周期为T π .
π
（2）若 x 0, ，则 f x 9 sinx cosx 4sin2x 9 2 ，
设 sinx cosx 2sin x
π
t ，则 t 1, 2 ，
4
则 sin2x 2sinxcosx t2 1，
f x g t 4t2所以 9t 5, t 1, 2 ，
1 ,13 9 2 所以其值域为 ；
16
（3）存在正整数 n 506，使得 f x 0在区间 0,nπ 内恰有 2025个零点．
x π 0, 当 2 时，
f x 9 sinx cosx 4sin2x 9．
t sinx cosx 2sin x π 设 ,t 1, 2 ，
4
则 sin2x 2sinxcosx t2 1，
于是 f x 9 sinx cosx 4sin2x 9 4t2 9t 5，
2
