第4章4.4数学归纳法 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第4章4.4数学归纳法 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 346.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-16 10:09:22 | ||
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文档简介
第4章4.4数学归纳法同步练习
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．时不等式成立 B．时不等式成立
C．时不等式成立 D．时不等式成立
4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
6．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ）
A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4
7．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（ ）
A． B．π C． D．2π
9．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（ ）
A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立
A． B． C． D．
11．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
13．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
14．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（ ）
A．当时命题成立 B．当时命题不成立
C．当时命题成立 D．当时命题不成立
15．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
二、填空题
16．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测______．
17．平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．
18．若，则_______．
19．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
三、解答题
21．已知数列的前项和满足（为正整数）.
(1)计算，，，并猜测通项公式；
(2)证明（1）中的猜想.
22．已知数列满足，且，
(1)求、的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
23．设函数对任意实数x、y都有．
(1)求的值；
(2)若，求、、的值；
(3)在（2）的条件下，猜想（n为正整数）的表达式，并证明．
24．将正整数作如下分组：，，，，，，…分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.
，
，
，
，
，
，
…
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出答案.
【详解】当时，，
在验证时，左边所得的项为.
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
3．B
【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．
【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
4．B
【分析】取即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当时，不等式为．
故选：B．
5．C
【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
6．C
【分析】将分别代入等式进行检验可得答案.
【详解】当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立，
当时，左边，右边，等式不成立.
故选：C
7．A
【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解.
【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除．
当时，
故选：A．
8．B
【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项.
【详解】由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
故选：B
9．A
【分析】利用棱柱对角面的意义及每增加一条棱，对角面增加的个数即可判断作答.
【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，
k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面，
而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1，
所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1.
故选：A
10．B
【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】若已假设（为偶数）时命题为真，
因为只能取偶数，所以还需要证明成立．
故选：B．
11．C
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合题意即可求解.
【详解】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
故选：C
12．D
【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
13．D
【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
14．D
【分析】利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
【详解】解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，
所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，
故选：D
15．B
【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
16．3
【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
17．
【分析】根据题中已知可得出第条直线和前条直线都相交时交点数最多，可得答案.
【详解】由已知，平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，
即第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，此时交点数最多，
交点数为，
故答案为：
18．
【分析】类比推理到下一项即可.
【详解】，
，
所以，
故答案为：.
19．
【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.
【详解】假设时成立，即成立，
当时，
，
故只需证明“”成立即可．
故答案为：.
20．Sn＝
【分析】根据Sn＝n2an，首先求出S1，S2，S3，S4，观察即可求解.
【详解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
故答案为：Sn＝
21．(1)
，，，；
(2)证明见解析
【分析】（1）赋值法求出，，，并猜测通项公式；
（2）利用数学归纳法证明出数列的通项公式.
【详解】（1）中令得：，解得：，
令得：，求出，解得：，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
猜想：；
（2）证明：当时，，满足要求，
当时，假设成立，
则当时，，
即，由得：，
故，解得：，
综上：.
22．(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】（1）赋值法求出、的值；
（2）猜想出，利用数学归纳法证明出结论.
【详解】（1）令得：，即，
故，
令得：，即，解得：，
（2）猜想，
证明如下：显然满足要求，
假设当时，成立，
则当时，，
，即，
即，
其中，
故
，
故，
综上：.
23．(1)
(2)，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）赋值法得到；
（2）赋值法结合求出答案；
（3）猜想：（n为正整数），利用数学归纳法进行证明.
【详解】（1）令x＝y＝0，得；
（2）由，得，，．
（3）猜想：（n为正整数）．
证明： 当n＝1时，，等式成立．
假设当n＝k时，等式成立，即，则
当n＝k＋1时，，等式也成立．
综上：对任意正整数n都有．
24．；证明见解析；
【分析】由题意，写出至的情况，可推断得，再利用数学归纳法证明，与时对应的情况.
【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，故猜想：，下面利用数学归纳法证明：①当时，，等式成立；②假设当时等号成立，即，那么，当时，，所以当时，等式也成立，根据①②可知，对于任意的，都成立.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．时不等式成立 B．时不等式成立
C．时不等式成立 D．时不等式成立
4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
6．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ）
A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4
7．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（ ）
A． B．π C． D．2π
9．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（ ）
A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立
A． B． C． D．
11．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
13．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
14．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（ ）
A．当时命题成立 B．当时命题不成立
C．当时命题成立 D．当时命题不成立
15．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
二、填空题
16．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测______．
17．平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．
18．若，则_______．
19．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
三、解答题
21．已知数列的前项和满足（为正整数）.
(1)计算，，，并猜测通项公式；
(2)证明（1）中的猜想.
22．已知数列满足，且，
(1)求、的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
23．设函数对任意实数x、y都有．
(1)求的值；
(2)若，求、、的值；
(3)在（2）的条件下，猜想（n为正整数）的表达式，并证明．
24．将正整数作如下分组：，，，，，，…分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.
，
，
，
，
，
，
…
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出答案.
【详解】当时，，
在验证时，左边所得的项为.
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
3．B
【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．
【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
4．B
【分析】取即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当时，不等式为．
故选：B．
5．C
【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
6．C
【分析】将分别代入等式进行检验可得答案.
【详解】当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立，
当时，左边，右边，等式不成立.
故选：C
7．A
【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解.
【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除．
当时，
故选：A．
8．B
【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项.
【详解】由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
故选：B
9．A
【分析】利用棱柱对角面的意义及每增加一条棱，对角面增加的个数即可判断作答.
【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，
k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面，
而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1，
所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1.
故选：A
10．B
【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】若已假设（为偶数）时命题为真，
因为只能取偶数，所以还需要证明成立．
故选：B．
11．C
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合题意即可求解.
【详解】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
故选：C
12．D
【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
13．D
【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
14．D
【分析】利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
【详解】解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，
所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，
故选：D
15．B
【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
16．3
【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
17．
【分析】根据题中已知可得出第条直线和前条直线都相交时交点数最多，可得答案.
【详解】由已知，平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，
即第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，此时交点数最多，
交点数为，
故答案为：
18．
【分析】类比推理到下一项即可.
【详解】，
，
所以，
故答案为：.
19．
【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.
【详解】假设时成立，即成立，
当时，
，
故只需证明“”成立即可．
故答案为：.
20．Sn＝
【分析】根据Sn＝n2an，首先求出S1，S2，S3，S4，观察即可求解.
【详解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
故答案为：Sn＝
21．(1)
，，，；
(2)证明见解析
【分析】（1）赋值法求出，，，并猜测通项公式；
（2）利用数学归纳法证明出数列的通项公式.
【详解】（1）中令得：，解得：，
令得：，求出，解得：，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
猜想：；
（2）证明：当时，，满足要求，
当时，假设成立，
则当时，，
即，由得：，
故，解得：，
综上：.
22．(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】（1）赋值法求出、的值；
（2）猜想出，利用数学归纳法证明出结论.
【详解】（1）令得：，即，
故，
令得：，即，解得：，
（2）猜想，
证明如下：显然满足要求，
假设当时，成立，
则当时，，
，即，
即，
其中，
故
，
故，
综上：.
23．(1)
(2)，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）赋值法得到；
（2）赋值法结合求出答案；
（3）猜想：（n为正整数），利用数学归纳法进行证明.
【详解】（1）令x＝y＝0，得；
（2）由，得，，．
（3）猜想：（n为正整数）．
证明： 当n＝1时，，等式成立．
假设当n＝k时，等式成立，即，则
当n＝k＋1时，，等式也成立．
综上：对任意正整数n都有．
24．；证明见解析；
【分析】由题意，写出至的情况，可推断得，再利用数学归纳法证明，与时对应的情况.
【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，故猜想：，下面利用数学归纳法证明：①当时，，等式成立；②假设当时等号成立，即，那么，当时，，所以当时，等式也成立，根据①②可知，对于任意的，都成立.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
答案第1页，共2页
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