第5章5.1导数的概念及其应用 同步练习（含解析）

第5章5.1导数的概念及其应用同步练习
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
3．函数在区间上的平均变化率是（ ）
A． B． C． D．
4．在区间上，函数①；②；③中平均变化率为定值的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
6．某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程关于时间的函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．若在处可导，则可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
8．若，则函数在处可导是函数在可导的（ ）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
9．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
10．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
11．设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
12．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
13．已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
14．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
15．设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知曲线在处的切线方程为，则___________．
17．物体的运动方程为（s的单位：米，t的单位：秒），则此物体在t＝10的瞬时速度是______．
18．函数，设在区间与的平均变化率为a，b，则a，b的大小关系为_______.
19．已知一物体做直线运动，其运动的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足：，则该物体在到这段时间的平均速度为______（m/s）．
20．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为______．
三、解答题
21．已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
22．已知函数.
(1)计算从到的平均变化率，其中的值分别为①2，②1，③0.1，④0.01；
(2)当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？
23．.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？
24．设函数的定义域为所有非零实数的全体，对任意的非零实数x、y均有，且 存在，试讨论： 还在哪些点处存在？并求出的表达式（用表示）．
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参考答案：
1．B
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】由题得
，则的最小值．
，，函数在处的切线方程是：
，即.
故选：B．
2．D
【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，
则切线，
，，.
故选：D．
3．B
【分析】根据平均变化率的定义即可求得本题答案.
【详解】因为，所以，
所以在区间上的平均变化率.
故选：B
4．B
【分析】根据平均变化率的定义求三个函数的平均变化率即可判断.
【详解】对于①，；
对于②，；
对于③，．
故只有③的平均变化率为定值．
故选：B.
5．D
【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.
【详解】当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故三次函数在上单调递增，在上单调递减，
可得的极大值为，极小值为.
故选：D.
6．B
【分析】根据导数的物理意义及函数的单调性即可判断
【详解】由汽车加速行驶，故随着的增大，速度在不断增大，根据导数的物理意义知，从而在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大．只有B满足此规律.
故选：B
7．A
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.
【详解】由导数定义，
对于A， ，A满足；
对于B，，
，B不满足；
对于C，，
，C不满足；
对于D，，
，D不满足.
故选：A.
8．C
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；
必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.
故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.
故选：C
9．D
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D.
10．C
【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.
【详解】当时，；当时，.
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
11．A
【分析】根据导数的定义即得.
【详解】因为函数在处的导数为2，
所以.
故选：A.
12．C
【分析】根据连续函数的定义判断A，连续点的定义判断B，由极限的计算公式计算极限判断D，根据极限定义举反例判断C．
【详解】由连续函数的定义知A正确；
函数的定义域是，因此其不连续点是和，B正确；
，D正确；
例如，，，但与不存在，C错．
故选：C．
13．D
【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【详解】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
14．A
【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.
【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.
故选：A.
15．B
【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.
【详解】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选：B
16．
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】根据题意得，，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
17．146米/秒
【分析】利用瞬时速度的概念求解出答案.
【详解】设此物体在t＝10的瞬时速度
（米/秒）.
故答案为：146米/秒.
18．a < b##b>a
【分析】根据平均变化率的计算公式分别计算出，，进而得出结果.
【详解】自变量从1变化到2时，函数的平均变化率为，
自变量从3变化到5时，函数的平均变化率为，
由于，所以函数在区间的平均变化率比在的平均变化率小，
也即.
故答案为：.
19．0
【分析】计算出，再由可得答案.
【详解】由，
得.
则该物体在到这段时间的平均速度为0（m/s）．
故答案为：0
20．或
【分析】求导得到，解得或，得到坐标.
【详解】由已知得，令，则，解得或，
所以或．经检验，点与均符合题意．
故答案为：或
21．(1)；
(2)或．
【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可；
（2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可.
【详解】（1）
，
当时，，
所以函数的导函数为．
（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，
则切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
从而切线方程为或．
22．(1)①6，②5，③4.1，④4.01.
(2)平均变化率越来越趋近于常数4
【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得，分别将的不同取值代入即可求得其平均变化率；
（2）由平均变化率的几何意义可知，当趋近于0时，其平均变化率越来越趋近于在处的瞬时变化率4.
【详解】（1）从到的平均变化率为,
①当时，函数在上的平均变化率为4+2=6.
②当时，函数在上的平均变化率为4+1=5.
③当时，函数在上的平均变化率为4+0.1=4.1.
④当时，函数在上的平均变化率为4+0.01=4.01.
（2）由（1）中的结果可以看出，当的值越来越小时，
函数在区间上的平均变化率越来越趋近于常数4.
23．烟花冲出1.5s后达到最高点
【分析】设烟花达到最高点时的时刻为，令该时刻的瞬时速度求解.
【详解】解：设烟花达到最高点时的时刻为，
根据瞬时速度的定义知，
，
，
故瞬时速度为，
令，
解得，
故烟花冲出1.5s后达到最高点.
24．对所有非零实数x都存在，且
【分析】根据条件先求出 ，再运用导数的定义计算.
【详解】由，得，则，从而对任意不为零的实数x，有
，
所以 对所有非零实数x都存在，且 ．
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