第4章 图形的相似 章末测试题（含解析）2022-2023学年北师大版九年级数学上册

北师大版九上第4章 图形的相似 章末测试题
一、选择题（共10小题）
1. 已知点 在线段 上，且 ，那么 为
A. B. C. D.
2. 下列各组图形一定相似的是
A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个直角梯形 D. 两个正方形
3. 哈尔滨到三亚的实际距离是 ，则在一幅比例尺是 的地图上，量得哈尔滨到三亚的图上距离是
A. B. C. D.
4. 如果 ，那么 的值是
A. B. C. D.
5. 如图所示，一组互相平行的直线 ，， 分别与直线 ， 交于点 ，，，，，．若 ，，，则 的长为
A. B. C. D.
6. 如图所示，在 中，，，，将 沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
7. 如图，， 与 相交于点 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为 ，， 的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为 则新三角形与原三角形相似．
乙：将长为 、宽为 的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 ，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
9. 如图，在 中， 在 边上，， 是 的中点，连接 并延长交 于 ，则
A. B. C. D.
10. 如图所示，在矩形 中， 是 边的中点， 于点 ，连接 ，分析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共8小题）
11. 如图，在 中，，， 的面积是 ，则 的面积为 ．
12. 已知 ，，， 是成比例线段，即 ，其中 ，，，则 ．
13. 如图所示，在 中，，，，点 在边 上，并且 ，点 为边 上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，则点 到边 距离的最小值是 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是位似图形，点 为位似中心，位似比为 ，点 ， 在第一象限，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是 ．
15. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置 绕固定点 旋转到位置 ，已知栏杆 的长为 米， 的长为 米，点 到 的距离为 米，支柱 的高为 米，那么栏杆端点 离地面的距离为 米．
16. 相邻两边长的比值是黄金比的矩形叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边的长等于 厘米，那么相邻一条边的长等于 厘米．（保留根号）
17. 如图， 是一块正三角形余料，边长为 ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边 在边 上，其余两个顶点 ， 分别在 ， 上，则这个正方形零件的边长是 ．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，， 分别是线段 ， 上的点，以 所在直线为对称轴，把 作轴对称变换得 ，点 恰好在 轴上，若 与 相似，则 的长为 ．
三、解答题（共5小题）
19. 网格纸中每个小正方形的边长都是 个单位长度， 在平面直角坐标系中的位置如图所示，解答问题：
（1）请按要求对 作变换：以点 为位似中心，相似比为 ，将 在位似中心的异侧进行放大得到 ；
（2）写出点 的坐标： ；
（3） 的面积为 ．
20. 已知 ，， 为 的三边长，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的周长．
21. 大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位．某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 处垂直于地面竖立了高度为 米的标杆 ，如图所示，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点 处，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上（点 ，点 ，点 ，点 与古塔底部的点 在同一直线上），这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 ．
22. 如图，， 平分 ，过点 作 交 于 ．连接 交 于 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
23. 如图所示，在 中，，，，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向定点 运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 运动，设运动时间为 秒 ，连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）连接 ，，若 ，求 的值．
答案
1. D
【解析】 ，
．
2. D
【解析】A、任意两个菱形，各边成比例、各角不一定分别相等，不一定相似，本选项不合题意；
B、任意两个矩形，各角分别相等、各边不一定成比例，不一定相似，本选项不合题意；
C、任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D、任意两个正方形，各角分别相等、各边成比例，一定相似，本选项符合题意．
3. D
【解析】，，故量得哈尔滨到三亚的图上距离是 ．
4. C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 或者 ．
5. A
【解析】 一组互相平行的直线 ，， 分别与直线 ， 交于点 ，，，，，，
，
，
．
6. B
【解析】选项A，，，
两个三角形相似，故本选项不合题意；
选项B， 且 ，
两个三角形不相似，故本选项符合题意；
选项C，，，
两个三角形相似，故本选项不合题意；
选项D，，，
两个三角形相似，故本选项不合题意．
7. C
【解析】，
，
，
，
，
，
．
8. A
【解析】甲：如图 ，
根据题意得 ，，，
所以 ，，
所以 ，
所以甲说法正确；
乙：如图 ，
根据题意得 ，，
则 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以新矩形与原矩形不相似，
所以乙说法正确．
9. B
【解析】如图，过点 作 ，交 于点 ，
则 ，，
是 的中点，
，
，
，
，
，
．
10. A
【解析】过 作 ，交 于 ，交 于 ，
因为四边形 是矩形，
所以 ，，，
所以 ，
因为 于点 ，
所以 ，
所以 ，
故①正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故②正确；
因为 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 于点 ，，
所以 ，
所以 垂直平分 ，
所以 ，
故③正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
易得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故④正确．
11.
【解析】，
．
，
，
，
．
12.
【解析】把 ，， 代入 ，得 ．
13.
【解析】延长 交 于 ，当 时， 的值最小，
又 ，
此时点 到 的距离最小，
，，，
，
，，
，
，即 ，解得 ，
，
点 到边 距离的最小值是 ．
14.
【解析】 正方形 与正方形 是位似图形，点 为位似中心，位似比为 ，
，，即 ，，
解得，，，
则点 的坐标为 ．
故答案为：．
15.
【解析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
因为栏杆从水平位置 绕固定点 旋转到位置 ，
所以 米， 米，
所以 米，
因为 米，，
所以 米，
因为 米，
所以栏杆端点 离地面的距离为 （米）．
16.
【解析】设相邻一条边的长为 厘米，由黄金矩形的定义可知 ，解得 ，
即相邻一条边的长等于 厘米．
17.
【解析】如图，作 的高 ，交 于点 ．
因为三角形 为正三角形，
所以 ，
由勾股定理得 ．
设正方形的边长为 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以加工成的正方形零件的边长是 ．
18. 或
【解析】 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，，，
若 ，则 ，
设 ，则 ，，
，解得 ，
．
若 ，则 ，
设 ，则 ，，
，解得 ，
．
19. （1） 如图所示， 即为所求．
（2）
（3）
【解析】 的面积为 ．
20. （1） 设 ，
则 ，，，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，，，
所以 ，即 的周长为 ．
21. 根据题意得 ，，
，，
，
，
，
（米），
，
米．
答：古塔的高度 为 米．
22. （1） 平分 ，
，且 ，
，
，
．
（2） ，
，
，且 ，
，，
，
，且 ，，
，
，
，
，
，
，
，且 ，
．
23. （1） ，，，
（）．
由题意得 ，，
．
当 时，，
，
解得 ；
当 时，，
，
解得 ；
综上所述，当 与 相似时， 的值为 或 ．
（2） 如图，过点 作 于点 ，则 ，
又 ，
．
．
，，，，
，．
．
，，
，，
，
，
，
，
．
，
解得 ．