2022--2023学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 达标测试卷 （含答案）

九下（北师版）-第二章 二次函数 达标测试卷
一、选择题（共10小题）
1. 下列各式中， 是 的二次函数的是
A. B. C. D.
2. 二次函数 化为 的形式，下列正确的是
A. B.
C. D.
3. 下列抛物线中，开口向下且开口最大的是
A. B. C. D.
4. 抛物线 与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围
A. B. C. D.
5. 若一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，则抛物线 的对称轴为
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
6. 二次函数 的图象如图所示，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是
A. B.
C. D.
7. 二次函数 的图象与 轴有两个交点 ，，且 ，点 是图象上一点，那么下列判断正确的是
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
8. 如图，点 ，，， 分别是正方形 边 ，，， 上的点，且 ．设 ， 两点间的距离为 ，四边形 的面积为 ，则 与 的函数图象可能为
A. B.
C. D.
9. 一小球被抛出后，距离地面的高度 和飞行时间 满足的函数表达式为 ，则小球距离地面的最大高度是
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数 图象的一部分，图象经过 ，对称轴为直线 ，给出四个结论：； 若点 ， 为函数图象上的亮点，则 ；；．其中，正确结论的个数是
A. B. C. D.
二、填空题（共10小题）
11. 如图，对称轴平行于 轴的抛物线与 轴交于 ， 两点，则它的对称轴为 ．
12. 如果抛物线 向上平移，使它经过点 ，那么所得新抛物线对应的函数表达式是 ．
13. 将抛物线 先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ．
14. 抛物线 和 轴有交点，则 的取值范围是 ．
15. 已知抛物线 ，当 时， （填“”或“”）．
16. 如图是二次函数 的图象，则 ．
17. 如图，在第一象限内作射线 ，与 轴的夹角为 ，在射线 上取一点 ，过点 作 轴于点 ．在抛物线 上取点 ，在 轴上取点 ，使得 ，， 为顶点的三角形与 全等，则符合条件的点 的坐标是 ．
18. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 （单位：）与滑行时间 （单位：）之间的函数表达式是 ，该型号飞机着陆后需滑行 才能停下来．
19. 如图，在边长为 的正方形 中， 为 边上任意一点（ 不与 ， 两点重合），连接 ，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，则 的最大长度为 ．
20. 如图是一段抛物线 ，记为 ，它与 轴交于点 ，；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 的得 ，交 轴于点 如此进行下去，直至 ．若 在第 段抛物线 上，则 ．
三、解答题（共6小题）
21. 已知抛物线 ．
（1）求证：不论 取何值，抛物线与 轴必有两个交点，并且有一个交点是 ；
（2）设抛物线与 轴的另一个交点为 ， 的长为 ，求 与 之间的函数表达式．
22. 已知抛物线 的一部分如图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点 和点 ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
23. 如图，已知抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若抛物线的顶点为 ，求四边形 的面积．
24. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，点 是直线 下方抛物线上一点，过点 作 轴的平行线，与直线 相交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）当线段 的长度最大时，求点 的坐标．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， 两点．
（1）试求抛物线的表达式；
（2）记抛物线顶点为 ，求 的面积；
（3）若直线 向上平移 个单位长度所得的直线与抛物线段 （包括端点 ， ） 部分有两个交点，求 的取值范围．
26. 九（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 天（ ，且 为整数）的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为 元/件，设该商品的售价为 （单位：元/件），每天的销量为 （单位：件），每天的销售利润为 （单位：元）．
（1）求出 与 的函数表达式．
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大 并求出最大利润．
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 元 请直接写出结果．
答案
1. C
2. B
3. B
4. A
5. C
6. C
【解析】由 的图象开口向下，得 ．
由图象，得 ．
由不等式的性质，得 ．
， 的图象位于第二、四象限；
， 的图象经过第一、三象限．
7. C
8. A
【解析】设正方形的边长为 ，则 ，
， ， ．
，
，，
．
与 的函数图象是A．
9. C
10. B
【解析】由抛物线交 轴于正半轴，得 ，故①正确．
对称轴为直线 ，
点 距离对称轴较近．
抛物线开口向下，
，故②错误．
对称轴为直线 ，
，即 ，故③正确．
由函数图象可知抛物线与 轴有 个交点，
，即 ．
， ，故④错误．
11. 直线
【解析】 抛物线是轴对称图形，
它与 轴的交点坐标关于抛物线的对称轴对称，
该抛物线的对称轴为直线 ．
12.
13.
14. 且
15.
16.
【解析】 抛物线经过原点，
．
．
又 抛物线开口向上，
．
17. ，，，
【解析】易得 点的横坐标是纵坐标的 倍，故设 点的坐标为 ，则 点的坐标为 ， 或 ，
可求的 点对应的坐标，解得 的值有 个，即 ，，，．
18.
【解析】，当 时，，则该型号飞机着陆后需滑行 才能停下来．
19.
【解析】设 ，．
如图， 四边形 是正方形，
．
， ，
又 ， ．
．
，即 ．
整理得 ，
当 时， 有最大值 ．
20.
【解析】易得抛物线 与 轴的交点坐标为 ，．
将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；
将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 如此进行下去，直至 ，
与 轴的交点横坐标为 ，，且图象在 轴上方．
对应的函数表达式为 ．
当 时，．
21. （1） 令 ，得 ，
即 ，解得 ，．
抛物线与 轴的交点坐标为 ，，
又 ，
抛物线与 轴必有两个交点．
不论 取何值，抛物线与 轴必有两个交点，且有一个交点是 ．
（2） ，，
．
22. （1） 由图可知，．
故抛物线的函数表达式为 ．
抛物线的顶点在第一象限，开口向下，
抛物线与 轴有两个不同的交点．
解得 ，即 的取值范围是 ．
（2） 设 点坐标为 ，由 ，得 ，即 ．
是方程 的一个根，
．
．
23. （1） 因为抛物线与 轴交于点 ，
所以设抛物线对应的函数表达式为 ．
由题意得 解得
所以抛物线对应的函数表达式为 ．
（2） 由顶点坐标公式得抛物线的顶点坐标为 ．
作抛物线的对称轴，与 轴的交点为 ，
24. （1） 抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，
令 ，可得 或 ，
，；
令 ，得 ，
点坐标为 ．
设直线 的表达式为 ，则有
解得
直线 的表达式为 ．
（2） 设点 的横坐标为 ，则其坐标为 ，
点 的坐标为 ．
设 的长度为 ，
点 是直线 下方抛物线上一点，
，
整理得 ，可知 为关于 的二次函数．
，
当 时，，此时点 的坐标为 ．
25. （1） 把点 ， 的坐标代入 ，
得 解得
抛物线的表达式为 ．
（2） ，
顶点 的坐标为 ．
连接 ，，经过 ， 两点作直线，如图，
直线 的函数表达式为 ．
对称轴与直线 的交点为 ．
．
（3） 由 消去 ，得到
当 时，直线与抛物线有一个交点，此时 ，
解得 ．
当直线 经过点 时，；
当直线 经过点 时，．
直线 向上平移 个单位长度所得的直线与抛物线 （包括端点 ， ）部分有两个交点，
．
26. （1） 当 时，设商品的售价 与时间 的函数表达式为 （ ， 为常数，且 ），
的图象经过点 ，，
解得
售价 与时间 的函数表达式为 ；
当 时， 售价 与时间 的函数表达式为
由表格可知，每天的销售量 与时间 成一次函数关系．
设每天的销售量 与时间 的函数表达式为 （ ， 为常数，且 ），
的图象过点 ，，
解得
（ ，且 为整数）．
当 时，；
当 时，．
综上，每天的销售利润 与时间 的函数表达式为
（2） 当 时，，
且 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ；
当 时，，
， 随 的增大而减小，
．
综上可知，当 时， 最大，最大值为 ．
即销售该商品第 天时，当天的销售利润最大，最大利润是 元．
（3） 天．