辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题（含解析）

辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
3．“为第一或第四象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．关于函数，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C．为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
6．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（ ）
A． B．－ C． D．－
7．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．若是第二象限角，则
C．若是第三象限角，则
D．若是第四象限角，则
8．函数的定义域为（　　　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（ ）
A．时针转过的角为
B．分针转过的角为
C．分针扫过的扇形的弧长为
D．分针扫过的扇形的面积为
10．已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
11．已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小值为0
B．的最小正周期为
C．的图象关于点中心对称
D．的图象关于直线轴对称
三、填空题
13．已知，则__________.
14．已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影数量为______．
15．已知，，则______．
16．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
四、解答题
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知O为坐标原点，，，，设C是直线OP上的一点．
(1)求使取得最小值时的坐标；
(2)对于（1）中求出的点C，求的面积．
19．如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
20．如图在中，.
(1)求;
(2)已知点D是AB上一点，满足，点E是CB上一点，满足，
①当时，求;
②是否存在非零实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
21．已知，且函数．
(1)化简；
(2)若，求和的值．
22．已知函数，和．
(1)若与有相同的最小值，求a的值；
(2)设有两个零点，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用任意角的三角函数定义计算即可得解.
【详解】因角的终边过点，由任意角的正切函数定义得：，
所以.
故选：D
2．B
【分析】利用转化即可
【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，
所以，所以．
故选：B
3．A
【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.
【详解】当为第一或第四象限角时， ，
所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件，
当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角，
所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件，
所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．A
【分析】利用三角函数定义、同角公式、差角的正切公式变形计算即得.
【详解】由正切函数的定义得．
故选：A
5．C
【分析】由函数是非奇非偶函数判断；由函数在区间上单调递增判断；由判断；由最小正周期为判断.
【详解】函数是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误.
∵当x＝时，
∴为其图象的一个对称中心.故选C
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的单调性，三角函数的对称性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．C
【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.
【详解】∵，∴．
又，∴，
∴．
又，，
∴．
故选：C.
7．D
【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，
此时，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，
∴，故B错；
如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，
∴，故C错.
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴，故D正确.
故选：D.
故选：.
【点睛】本题考查三角函数线的应用，属基础题.
8．C
【分析】由题知，进而结合三角函数性质解三角不等式即可.
【详解】解：由题知，即，
所以.
故选:C．
9．BC
【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.
【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，
分针扫过的扇形的弧长为，面积为.
故选：BC.
10．ABD
【分析】利用向量的坐标运算，逐个验证选项.
【详解】已知向量，，，
，，选项A正确；
，，选项B正确；
，选项C错误；
，，
设与的夹角为，则，与的夹角为，选项D正确.
故选：ABD
11．AB
【分析】转化为与的交点个数问题，然后作图可知.
【详解】因为仅有一个实数根，即仅有一个实数根
所以，对于任意的，函数与仅有一个交点，
由图知，，故AB正确.
故选：AB
12．BD
【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后逐个分析判断
【详解】
，
对于A，当时，取得最小值，所以A错误，
对于B，的最小正周期为，所以B正确，
对于C，由，得，所以的图象的对称中心为，所以C错误，
对于D，由，得，所以的图象的对称轴为直线，当时，，所以的图象关于直线轴对称，所以D正确，
故选：BD
13．-3
【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.
【详解】∵，∴，
故答案为：-3.
14．##-0.5
【分析】利用平面向量的数量积运算先求出与的夹角，然后，再计算投影数量即可.
【详解】，，且，，所以，向量在向量方向上的投影数量为．
故答案为：
15．
【分析】先由，求出的值，再由，所以两边取余弦，利用两角差的余弦公式化简即可
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
故答案为：
16．②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件可求得，再利用商数关系即可求解（2）齐次整式化齐次分式，再利用商数关系即可求解
【详解】（1）由，
得．
故．
（2）．
18．(1)
(2)1
【分析】（1）按照条件，分别计算出 的坐标，按照坐标法计算 即可；
（2）用数量积求出夹角 的正弦值，运用三角形面积公式计算即可.
(1)
因为点C是直线OP上一点，所以 ，
故设，
，，
，
当时，取得最小值，此时；
(2)
当时，，，
所以，，，
所以，又由得，
所以
综上，取得最小值时， 的面积为1.
19．(1)
(2)
【分析】(1)先利用余弦定理得到，根据边的关系得到AB⊥DB，进而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 设∠ADB=θ，利用余弦定理分别求出,相加后整理变形得到关于角的三角函数，利用正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在△ABD中，因为，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此时Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）设∠ADB=θ，由题意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因为，所以，
所以，
因为，所以，，
所以的取值范围是．
20．(1)
(2),
【分析】（1）利用余弦定理求出的长即得；
（2）①时，根据向量的线性运算求出，的线性表示，由数量积的运算即可求解；
②假设存在非零实数，使得，利用，分别表示出和，求出时的值即可．
【详解】（1）中，,
由余弦定理得，
，即；
（2）①时，，，
，
，
②假设存在非零实数，使得，
由，得，
；
又，
；
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
即存在非零实数，使得．
21．(1)
(2)，
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值
【详解】（1）
．
（2）由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
22．(1)；
(2).
【分析】（1）分别求出，，利用导函数分析单调性，求出，，让最小值相等解出即可；
（2）根据题意，将函数有两个零点，转化为有两个根，构造函数，根据函数的单调性，得到有两个根，再构造函数，利用函数的单调性和最值列不等式，即可得到的范围.
【详解】（1），则，
当时，，在R上单调递减，无最值，舍去；
当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则；
因为，所以的定义域为，
，令，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，则，
根据题意得，解得.
（2）由题意得，，
令，整理得，，
令，，所以在上单调递增，
又，所以，则题意可转化为在上有两个根，
令，则，
令，解得，，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，，图象如下所示，
所以，解得，所以.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页