人教A版（2019）必修 第二册——6.2.4向量的数量积（共22张）

(共22张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
知识回顾
数乘定义：
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a= 0时, λa= 0
一、向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
O
A
B
O
A
B
O
A
B
O
A
B
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考1：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
思考2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其 结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
二、平面向量的数量积的定义
已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，其中θ为两向量的夹角；即：
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
说明：
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
思考3：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
数量积符号由cos 的符号所决定
例1.已知
解：
=-10
解：由 得
因为 所以 。
三、向量的投影
投影
投影向量
θ
O
O
θ
O
A
B
C
D
A1
B1
投影向量
O
M
N
M1
O
M
N
M1
四、平面向量的数量积的性质
(3)当向量 与 共线同向时， ；
当向量 与 共线反向时， .
特别地， 或
(5)
θ=90
θ=0
θ=180
︱cosθ︱≤1
设 是非零向量，它们的夹角是 ，是与 方向相同的单位向量，则
已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1）
（交换律）
（2）
（数乘结合律）
（3）
（分配律）
五、平面向量的数量积的运算律
思考4：向量的数量积满足结合律 吗？
说明：
例3.对任意 ，恒有 ，
对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？
解：
练习：导与练大册子
例5.已知 为单位向量，且 的夹角 为 ，求向量 在 上
的投影向量。
解：向量 在 上的投影向量为
练习：导与练大册子
方法总结
[例7] 已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则a与b的夹角为　　　　.
例8.已知 且 与 不共线，当k取何值时，向量
与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
因为
所以
解得
所以，当 时， 与 互相垂直。
练习：导与练大册子
一、1.数乘向量的定义及运算律
2.向量共线定理
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
小结