(共38张PPT)
相似三角形的应用(一)
高邮赞化学校 柏燕
了解平行投影
自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。 (点击网站 http://news.edu-chn.com)
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.
探索活动
活动一：在阳光下，物体的高度与影长有什么 关系？
同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。
发现：
选择同一时间测量
选择不同时间测量
活动二： 尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
１、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米
活动三 知识应用
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
60米
3米
？
1.8
2、 每个星期一上午学校内的全体师生都要参加升旗仪式，想不想测量咱们旗杆的高度呢？
小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把１米的标秆竖立在地上，它的影长为1.5米。于是小明很快就算出了旗杆的高度。你知道他是怎么计算的吗？
12
A
E
C
B
D
F
1.5
1
解:∵太阳光是平行光线
∴
∴
∴
AB=8
E
D
1.5
1
如果让标杆影子的顶端与旗杆影子的顶端C重合,你认为可以吗？
3、 某同学想利用树影测量树高.他在
某一时刻测得小树高为1.5米时，其影
长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大
树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分
影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约________米.
9.4
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
解：作DE⊥AB于E
得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
F
D
6.4
？
1.4
B
c
G
A
3 投在墙上的影子可视为一个物体。
AB=BF+1.4
说明:
1 可以利用物影测量物高, 借助于同一
时刻的另一个物体的高度和影长。
2 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分.
1.2
1.5
甲
思维拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
乙
9
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
12
Ａ
Ｂ
Ｃ
12
9.6
D
E
0.6
1.2
1.5
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
0.6
C
解:∵太阳光是平行光线
∴BC=9.6
∴
∵9.6＞9
∴乙的采光会受影响．
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
胡夫金字塔是埃及现存
规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀了近10m，所以高度有所降低 。在巴黎埃菲尔铁塔完成之前，它一直是世界上最高的建筑物。你知道金字塔的高度是如何测量出来吗？
生活实践
有一棵高大的松树，小丽想测算出它的高度。
由于太高无法攀登，也不好砍倒它。如果此
时小丽手中只有一卷的软皮尺，你能帮帮她吗？说说你的设计方案。
液面
B
C
A
木棒
如何来测量液面的高度呢
提供工具:
木棒(足够长),刻度尺
木棒
刻度尺
D
筒不透明哟。
液面
B
C
A
木棒
A
B
C
D
E
G
D
木棒
刻度尺
提供工具:
两条等长木棒(足够长),刻度尺
A
B
D
C
O
课外实践
相似三角形的应用
1、发挥你的聪明才智，实地测量赞化楼或你家楼房的高度 或一些漂亮的建筑物的高度（同学们可互相合作）
2. 小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高
B
D
C
通过本堂课的学习和探索，你学会了什么
谈一谈你对这堂课的感受
你还想解决什么问题吗
布置作业：
1、上网到国家测绘局的网站了解一些测绘的科普常识。 http://www.sbsm./index.php
2、关注我国第四次珠峰综合科考，了解有关测绘的知识。
3、补充习题 课课练。(共29张PPT)
<<相似三角形的判定>>
练习课
王春玲
一、复习：
1、相似三角形的定义是什么？
答：
对应角
相等，
对应边
成比例
的两个三角形叫做相似三角形.
2、判定两个三角形相似有哪些方法？
答：
A、用定义；
B、用预备定理；
C、用判定定理1、2、3.
D、直角三角形相似的判定定理
3、相似三角形有哪些性质
1、对应角相等，对应边成比例
2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。
3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
一.填空选择题:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
则△ AED与△ ABC的相似比为______.
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
AC
2:5
5
2cm
1:2
5. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
6. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3
D
4
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
② AM2=MD · ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，
DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC.
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直
线分别交对角线BD、边BC、边
DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG .
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE
为高 .
求证： △ ADE∽ △ ABC
（用两种方法证明）.
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC,E是AC的中点，ED交
AB的延长线于F.
求证: AB:AC=DF:AF.
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对
应相等，两三角形相似）
∴
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE∥BC，且
∴ △ADE∽△ABC
即△ADE与△ABC的相似比为1:2
(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，
则△ ADE与△ ABC的相似比为______
2.
解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD:DB=2:3
∴DB:AD=3:2
∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5
如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
解: 设三角形甲为△ABC ，三角
形乙为 △DEF，且△DEF的最大
边为DE，最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC
∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm
4.
等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
解: ∵ △ABC ∽△BDC
∴
即
∴ DC=2cm
5.
解: ∵ △ADE∽△ACB
且
∴
如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。
解: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
∴ △ADC ∽ △DEC
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB
分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
式 ，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC
∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD
∴
∴ AC2=AD·AB
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME
分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。
证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点
∴AM=BM=BC/2
∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∠E+ ∠ADE= 90°
∠BDM= ∠ADE
∴∠B=∠E
∴∠MAD= ∠E
又 ∵ ∠DMA= ∠AME
∴△MAD∽ △MEA
② ∵ △MAD∽ △MEA
∴
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC.
分析：欲证 ED2=EO·EC，即证：
，只需证DE、EO、EC
所在的三角形相似。
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A
∵ AO=OB，DF=FB
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴ ，即 ED2=EO · EC
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG .
分析：要证明
EA2 = EF· EG ，
即 证明 成
立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
证明：∵ AD∥BF AB∥BC
∴△AED ∽△FEB
△AEB ∽△GED
∴
∴
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）.
证明一：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°
∴ ∠ABD= ∠ACE
又∵ ∠A= ∠A
∴△ ABD ∽ △ ACE
∴
∵ ∠A= ∠A
∴ △ ADE ∽ △ ABC
证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO
∠ BOE=∠COD
∴ △BOE ∽ △COD
∴
即
又∵ ∠BOC= ∠EOD
∴ △BOC ∽△EOD
∴ ∠1= ∠2
∵ ∠1+ ∠BCD=90°，
∠2+ ∠3= ∠ 90°
∴ ∠ BCD= ∠3
又∵ ∠A= ∠A
∴ △ ADE∽ △ ABC
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
分析：因△ABC∽△ABD，所以
， 要证
即证 ，
需证△BDF∽△DAF.
证明：∵ ∠BAC=90°
AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90°
∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C
∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点，
∴ED=EC
∴ ∠EDC= ∠C
∵ ∠EDC = ∠BDF
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD
∴
∴
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC
⑶ ∵∠A= ∠A，
当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.
A
P
B
C
1
2
4
1、条件探索型
三、探索题
2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似
D
A
B
C
a
b
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当 时，即当 时，
△ABC∽ △CDB,∴
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当 时，即当 时，
△ABC∽ △BDC， ∴
答：略.
１
这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件． 解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件．
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.
C
解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
2、结论探索型
A
B
D
E
G
F
１
2
2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.
E
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
E
E
E
这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论． 解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.
3、存在探索型
如图, DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.
A
D
B
C
E
F
证明：连结MC， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，AE＝EC， 又∵ME⊥AC, ∴AM＝CM， ∴ ∠1= ∠2 ， ∵∠B=90°， ∴ ∠4＝ ∠B= 90°， ∵AF ∥BC，AM ∥DE, ∴ ∠1= ∠2 ， ∴ ∠3= ∠2 , ∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， ∴ △ADE ∽△MEC．
A
D
B
C
E
F
1
2
3
M
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作∠MCA= ∠AED).
4
所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题． 解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明．
