西夏墅中学2022-2023学年高一下学期数学测试10
一、单选题(共40分)
1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.若向量，，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
3.在平行四边形ABCD中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.计算：（ ）
A. B. C. D.
5.在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6
8. 若，函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.
二、多选题(共20分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则 ； B. 若，为复数，则
C. 设，是非零向量，若，则
D. 设，为复数，若，则
10．已知为坐标原点，点，，，，，则下列选项中的等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11.已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数. B．函数在上单调递增.
C．若，则的最小值为.
D．当的值域是.
12．在中，内角、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则； B. 若点为的重心，则
C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为
D. 若点为内一点，且，则
三、填空题(共20分)
13.复平面内表示复数，则 ___________ .
14.已知向量与满足，则与的夹角为_____________．
15. 如图，位于我国南海海域某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛C与小岛D之间的距离为___________海里．
16.已知函数，若函数在区间内没有零点，则实数的最大值是______.
四、解答题(共70分)
17．已知复数z＝m－i(m∈R)，且为纯虚数．
（1）设复数，求|z1|；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18．已知中，是直角，点是的中点，为上一点，且，设，．
（1）请用，来表示，；
（2）若，求.
19.已知函数.
（1）若，求函数的值域和单调递减区间；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值.
20.在中分别、、分别是角、、的对边，且满足
(1)求角的大小；
(2)现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______.______，求的面积.
(3)当满足时，求的取值范围使得这样的有且只有两个（直接写出结论）
21.在中，内角，，，所对的边分别是，，，已知，且
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若线段，是线段上的动点，且，求的最小值.
22．如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点和点处，再分别安装一套监测设备，且满足且为正三角形．
（1）若，求面积；
（2）设，试用表示的面积，并求最大值．西夏墅中学2022-2023学年高一下学期数学测试10答案
单选题(共40分)
1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
2.若向量，，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
3.在平行四边形ABCD中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4.计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5.在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
7.时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6
【答案】B
8. 若，函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、多选题(共20分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若，为复数，则
C. 设，是非零向量，若，则
D. 设，为复数，若，则
【答案】BC
10．已知为坐标原点，点，，，，，则下列选项中的等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
11.已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数.
B．函数在上单调递增.
C．若，则的最小值为.
D．当的值域是.
【答案】AC
12．在中，内角、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若点为的重心，则
C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为
D. 若点为内一点，且，则
【答案】ABD
三、填空题(共20分)
13.复平面内表示复数，则 ___________ .
【答案】
14.已知向量与满足，则与的夹角为______．
【答案】
15. 如图，位于我国南海海域某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛C与小岛D之间的距离为___________海里．
【答案】 ①. ②.
16.已知函数，若函数在区间内没有零点，则实数的最大值是______.
【答案】
四、解答题(共70分)
17．已知复数z＝m－i(m∈R)，且为纯虚数．
（1）设复数，求|z1|；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）; （2）.
【解析】（1）因为，则，
所以，为纯虚数，则，解得，
所以，
所以|z1|.
（2），
因为复数在复平面对应点在第一象限，
所以.
所以实数a的取值范围为.
18．已知中，是直角，点是的中点，为上一点，且，设，．
（1）请用，来表示，；
（2）若，求.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1），
由，.
（2）因为中，是直角，可得，即，即，
由（1）知：，，
又因为，所以，
所以，即.
19.已知函数.
（1）若，求函数的值域和单调递减区间；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值.
【解析】（1）
，
由得，，.
∴，即函数的值域为.
（2）由得，
又由，∴，∴.
在中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴.
20.在中分别、、分别是角、、的对边，且满足
(1)求角的大小；
(2)现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______.______，求的面积.
(3)当满足时，求的取值范围使得这样的有且只有两个（直接写出结论）
【解析】(1)在中，对，用正弦定理得：，所以，即.
因为，所以，所以.
因为，所以.
(2)选条件①②：在中，有，，.
由可得：,所以，这与相矛盾，故这样的不存在，舍去.
选条件①③：在中，有，，.
由余弦定理可得：,即，解得：.所以为等腰三角形，所以,，所以.
选条件②③：在中，有，，.
由可得：.所以为等腰三角形，所以,所以.
(3)如图示，
要使符合题意的有且只有两个，只需以C为圆心，以a为半径作弧与射线AB（不含A）有且仅有两个交点.
过C作CD⊥AB于D,则.
只需满足，即，解得：.
所以的取值范围为.
21.在中，内角，，，所对的边分别是，，，已知，且
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若线段，是线段上的动点，且，求的最小值.
【解析】(1)或；(2)或(3)
【详解】（1）由题意得：
，所以，
又知，则由正弦定理得：，即，
所以，即，
则，即，
所以，即，
则，所以，
所以或（），即或（），
又，，，则，即，
所以时，，满足题意，此时，
时，，此时，
综上：或.
（2）由（1）知，当时，，
当时，.
（3）过点作于点，以为原点，方向为轴，方向为轴，
不妨设靠近点，由，，
得：，设，，
由（1）知，为最长边，即，则，
又，，
所以，
故的最小值为.
22．如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点和点处，再分别安装一套监测设备，且满足且为正三角形．
（1）若，求面积；
（2）设，试用表示的面积，并求最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由余弦定理得:
,即
解得或(舍去)
因为为正三角形，所以
（2）设正的边长为，
在中由正弦定理
,
,故当时,面积最大此时，的最大面积.
