广东省佛山市顺德区2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题（PDF版含答案）

顺德区2022-2023 学年第二学期期中考试高二数学试题
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知 2 = 156，则 等于 ( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
2. 1 3 (1)设 ( )是可导函数，且 lim = 2，则 ′ 1 =( ) →0
A. 23 B.
2
3 C. 6 D. 2
3. 已知正项等比数列{ }中， 1 5 9 = 27， 6与 7的等差中项为 9，则 10 =( )
A. 3 B. 132 81 C. 96 D. 729
4. 已知函数 ( )的图象如图所示，则导函数 ′( )的图象可能是( )
A. B.
y=f(x)
C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ， 3 + 5 + 7 = 3, 11 = 11，则使 取得最大值时
的值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 已知 ′( )是偶函数 ( )( ∈ )的导函数， (1) = 1.若 ≥ 0时， ( ) + ′( ) > 0，
则使得不等式( 2023) ( 2023) > 1 成立的 的取值范围是( )
A. (2023, + ∞) B. ( ∞, 2023) ∪ (2023, + ∞)
C. (2024, + ∞) D. ( ∞, 2024) ∪ (2024, + ∞)
7. 若一个数列的第 项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项
均为正数的等比数列{ }是一个“2023积数列”，且 1 > 1，则当其前 项的乘积取最大值
时 的值为( )
A. 1011 B. 1012 C.2022 D. 2023
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2 2 1, ≤ 0
8. 已知函数 ( ) = ，若函数 2 2 有五个不等实根，
, > 0
( ) + ( ) + = 0
则实数 的取值范围为( )
A. ( 2 , 0) B. (
2+
2 , 0) C. (
2
, 0] D. (
2+
2 , 0]
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 学校食堂某窗口供应两荤三素共 5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打 2份菜，且每
人至多打 1份荤菜，则下列说法中正确的是 ( )
A. 若甲选一荤一素，则有 6种选法
B. 若乙选两份素菜，则有 3种选法
C. 若两人分别打菜，则总的方法数为 18
D. 若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为 30
10. 已知数列 满足 1 = 1， +1 = 2( + 1) ，设 = .则下列结论正确的是 ( )
A. 3 =4 B. { }是等差数列
C. 4 = 16 D. = ·2 1
11. 已知函数 ( ) = ( 2 1)，则下列选项正确的有 ( )
A. 函数 ( ) 5极小值为 ，极大值为 2
B. 函数 ( )存在 3个不同的零点
C. 当 ∈ [ 2,2]时，函数 ( )的最大值为 2
D. 当 < < 5 3 2时，方程 ( ) = 恰有 个不等实根
12. 如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘
1
出一个圆的4，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正
方形的边长为 1，第三个正方形边长为 2， ，其边长依次记为
1， 2， 3， ，得到数列{ }，每一段等角螺线与正方形围成
的扇形面积记为 ，得到数列{ }，则下列说法正确的有( )
A. 8 = 21 B. 1 + 2 + + 14 = 16 1
C. 21 + 22 + + 214 = 2 14 15 D. 4( 20 19) = 19 20
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三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 = 1 33 +
2 + 1有一个极值点为 4，则 的值为 ．
14. 为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，
数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那
么五个学科复习时间的顺序安排总共有 种（用数字作答）.
15. 设函数 ( )的导函数为 ′( )，若函数 ( ) = cos2 + 2 ′( 3 )，则曲线 = ( )在点
(0, f(0))处的切线方程为 ．
16. 已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = 3 + 2( ∈ )，则数列{ }的通项公式 = ，前
项和 = ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)
“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以
芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅.”
这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，
只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有甲、乙两名
志愿者和 ， ， ， 四名学生排成一排合影留念，求下列不同的排法种数．
(1)甲、乙两人必须站在两端；
(2) ， 两人相邻且 ， 均不与 相邻．
18. (本小题 12.0分)
已知数列 是公差为 2的等差数列，且满足 1， 2， 5成等比数列．
1
(1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． +1
19. (本小题 12.0分)
如图所示，某风景区在一个直径 为 400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点 与圆
弧上一点 之间设计线．段．小路，在路的两．侧．边缘种植绿化带；从点 到点 设计为沿．圆．弧． 的．
弧．形．小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带. (注：小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设∠ = (弧度)，将绿化带总长度 表示为 的函数；
(2)试确定 的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．
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20. (本小题 12.0分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， = +1 2．
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)令 = log2 ， = ，求数列{ }的前 项和 ．
21. (本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = + +1 22 + 1．
(1) 1 1当 = 2时，求 ( )在区间[ , ]上的最值；
(2)讨论函数 ( )的单调性．
22. (

本小题 12.0分)已知函数 ( ) = 2 + 2 ln ， ∈ (0, + ∞)．
2
(1)当 = 1时，证明函数 ( ) = ( ) 有两个零点；
4
(2)若函数 ( )有唯一极值点，求 的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列数的计算公式，一元二次方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用排列数的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵ 2 = 156，∴ ( 1) = 156，
解得 = 13或 = 12(舍)．
故答案为： ．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的概念，属基础题．
根据导数的定义计算即可．
【解答】
∵ lim 1 3 (1)解：
→0
= 2，
∴ ‘(1) = (1 3 ) (1) = 1 (1 3 ) (1) = 1 × 2 = 2．
→0 3 3 →0 3 3
故选 B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
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本题考查等比数列的性质及等差中项的概念，考查运算能力，属于基础题．
由题意，可设公比 ( > 0)，得到 5 = 3，解得 ，再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求
值．
【解答】
解：设正项等比数列{ }的公比为 ( > 0)，
1 5 9 = 27 = 53，
∴ 5 = 3，
∵ 6与 7的等差中项为 9，
可得 6 + 7 = 18，
∴ 5 + 25 = 18，
∴ + 2 = 6，
解得 = 2 或 = 3(舍去)，
则 = 5 = 3 × 2510 5 = 96．
故选 C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导函数函数图象与原函数图象的关系，属于较易题．
根据函数的单调性和函数导数符号的关系即可找出 ′( )可能的图象．
【解答】
解：根据原函数为减函数时， ′( ) < 0，增函数时， ′( ) > 0，
从而可判断只有选项 D 的图象符合．
故选 D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式的灵活运用．
【解答】
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解：等差数列{ }中， 3 + 5 + 7 = 3, 11 = 11
则 5 2 + 5 + 5 + 2 = 3 5 = 3， 5 = 1，
5 = 1 + 4 = 1
∴ 11×10 ，11 = 11 1 + 2 = 11
( 1)
解得 1 = 9， = 2．∴ = 9 + 2 × 2
= 2 10 = ( 5)2 25，
∴当 = 5 时， 取得最小值．
故选 B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
设 ( ) = x ( )，求导得 ′( ) = ( ) + ′( ) > 0，进而可得 ≥ 0时， ( )单调递增，由于 ( )
为偶函数，推出 ( )为奇函数，进而可得 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，由于 (1) = 1，则 (1) = 1，
由于( 2023) ( 2023) > 1，则 ( 2023) > (1)，推出 2023 > 1，即可得出答案．
【解答】
解：设 ( ) = x ( )，
′( ) = ( ) + ′( ) > 0，
′( ) > 0， ( )单调递增，
因为 ( )为偶函数，
所以 ( ) = ( )，
所以 ( ) = ( ) ( ) = x ( ) = ( )，
所以 ( )为奇函数，
所以 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
因为 (1) = 1，
所以 (1) = 1 (1) = (1) = 1，
因为( 2023) ( 2023) > 1，
所以 ( 2023) > (1)，
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所以 2023 > 1，
所以 > 2024，
故选： ．
7.【答案】A
【解答】
解：∵各项均为正数的等比数列{ }是一个“2023积数列”，且 1 > 1，
∴由题意得 1 × 2 × 3 ×… × 1008 × 1009 × 1010 ×… × 2020 × 2021 × 2022 = 1，
根据等比数列的性质得到：
1 2022 = 2 2021 = 3 2020 = … = 1011 1012 = 1，
∵ 1 > 0， > 0，
∴该数列为递减的等比数列，
∴ 1011 > 1，0 < 1012 < 1，
∴当其前 项的乘积取最大值时 的值为 1011．
故选： ．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性和极值，二次函数的图像和性
质，考查数形结合的数学思想，属于较难题．
> 0 ( ) = 当 时， ，求导可得当 ∈ (0, )时， ( )单调递增；当 ∈ ( , + ∞)时， ( )单调递
减，作出 ( )图像，令 = ( )，则 2 2 + + = 0，由题意可知方程 2 2 + + = 0 有两个不
相等的实根，设为 1， 2，且 1 ∈ [ 1,0)，
1 2
2 ∈ [0, )，设 ( ) = 2 + + ，再结合二次函数的
图像，列出关于 的不等式组，解出 的取值范围即可．
【解答】
> 0 1 解：当 时， ( ) = ，则 ′( ) = 2 ，
∴当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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且 ( ) = 1 ，作出 ( )图像，如图所示：
令 = ( )，则 2 2 + + = 0，
当 ∈ ( ∞, 1)时， ( ) = 有 2个解，
当 ∈ [ 1,0)时， ( ) = 有 3个解，
当 ∈ [0, 1 )时， ( ) = 有 2个解，
当 = 1 时， ( ) = 只有 1个解，
∵方程 2 2( ) + ( ) + = 0有五个不等实根，
∴方程 2 2 + + = 0 有两个不相等的实根，设为 1， 2，
1
则 1 + 2 = 2，
且 1 ∈ [ 1,0)， 2 ∈ [0,
1
),
(若一个解在( ∞, 1)，一个解在[ 1,0) 1，则不满足 1 + 2 = 2 )，
设 ( ) = 2 2 + + ，
= 1 8 > 0 1 8 > 0
( 1) ≥ 0 1 + ≥ 0
则 (0) ≤ 0 ，即 ≤ 0 ，
2 1
( 1 ) > 0 2 + + > 0
2+
解得： 2 < ≤ 0．
故选： ．
9.【答案】
【解析】
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【分析】
本题考查两个计数原理和排列组合的应用，属于基础题．
应用两个计数原理和排列组合的应用，对每个选项逐一分析即可．
【解答】
解：对于 ，甲若选一份荤菜，则有 2 × 3 = 6(种)选法，故 A 正确；
对于 ，若乙从三份素菜中选两份素菜，则有 3(种)方法，故 B 正确；
对于 ，由 和 可知，若两人分别打菜，没人都有 9 种选菜方法，则两人选菜的总方法数为 9 × 9 =
81(种)，故 C 错误；
对于 ，若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，分为以下两类
若荤菜相同，素菜不同，则有 2 × 23 = 12(种)，
若素菜相同，荤菜不同，则有 3 × 22 = 6(种)，
总计有 12 + 6 = 18(种)，故 D 错误．
故选 AB．
10.【答案】
【解答】
2
解：由条件可得 +1 +1 = ，即 +1 = 2 ，又 1 = 1，
所以{ }是首项为 1，公比为 2的等比数列，故 B 错误；
可得 = = 2 1 ，所以 = ·2
1，故 D 正确；
则b3 = 4， 4 = 8，可知 正确，C 错误；
故选 ．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值和最值.属于中档题．
求出函数导数，利用导数研究函数单调性即可求出极值以及零点和最值，然后利用图象，即可得
解．
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【解答】
解：根据题意 ′ = 2 1 + 2 1 = 2 + 2 = + 2 1 ，
当 < 2时， ′ > 0，函数 ( )单调递增，当 2 < < 1 时， ′ < 0，函数 ( )单调递
减，
当 > 1 时， ′ > 0，函数 ( )单调递增，所以当 = 2时，函数取得极大值为 2 =
2 4 + 2 1 = 5 = 1 2，当 时，函数取得极小值为 1 = 1 1 1 = ，故 A 正确；
作出函数大致图象：
由图象可知，当 趋于负无穷时， ( )趋于 0，故函数 ( )存在 2个不同的零点，故 B 错误；
(2) = 2，故当 ∈ [ 2,2]时，函数 ( )的最大值为 2，故 C 正确；
当 < < 0 时，显然只有 2个不等实根，故 D 错误．
故选 AC．
12.【答案】 C
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理，以及数列的有关运算，属中档题．
由图中数据可得 1 = 2 = 1， =
2
1 + 2( ≥ 3)，由题意可得 = 4 ，依据各项条件计
算即可判断各项的正确性．
【解答】
解：由图中数据可得 1 = 2 = 1， = 1 + 2( ≥ 3)，

由题意可得 2 = 4 ，
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对于 ： 5 = 5, 6 = 8, 7 = 13则 8 = 21，故 A 正确；
对于 ： = 1 + 2，可得 2 = 1，
1 + 2 + + 14 = ( 3 2) + ( 4 3) + + ( 16 15) = 16 2 = 16 1，故 B 正确；
对于 ： 1 = ，∴ 2 2 1 = 1 1 2，
∴ 2 + 2 2 21 2 + + 14 = 1 + ( 2 3 2 1) + ( 3 4 3 2) + + ( 14 15 14 13)
= 21 2 1 + 14 15 = 14 15，故 C 正确；

对于 ：4( 20 19) = 4( 24 20
2 2 2
4 19) = ( 20 19) = ( 20 19)( 20 + 19) = 18 21，故
D 错误
故选 C
13.【答案】2
【解析】解：由题， ’ = 2 + 2mx，令 ’ = 0，则 1 = 0， 2 = 2 ，
因为 有一个极值点 4，所以只需 2 = 4，即 = 2．
54
【解答】
根据物理复习时间的安排分为以下两类
第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学有 3种，接下来三科有 33种安排，共有
3× 33=18
第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，有 3种，剩下四科中数学和物
理采用插空法，有 2 2 2 22× 3种安排，共有 3× 2× 3=36种。
两类相加，共有 18+36=54种安排。
15.【答案】 = 2 3 + 1
【解答】
′( ) = 2 2 + 2 '( )，则 ′( ) = 2 2 + 2 '( ) 3 ，可求 '( ) = 3，3 3 3 3
所以有 ′(0) = 2 3， (0) = 1，则曲线 y= ( )在点(0, f(0))处的切线方程为 1 =
2 3( 0), 即 = 2 3 + 1
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16.【答案】2 3 1 1， 3 1
【解答】
解：∵数列{ }满足 1 = 1， +1 = 3 + 2( ∈ )，
∴ +1 + 1 = 3( + 1)，
∴数列 + 1 是以 1 + 1 = 2为首项，公比为 3的等比数列，
∴ + 1 = 2 × 3 1，
∴ = 2 × 3 1 1，
∴数列{ }的前 项和为：
= 2 × 30 + 31 + . . . + 3 1
= 2 × 1 3

1 3 = 3
1故答案为 2 × 3 1 1， 3 1
17.【答案】解：(1)由题意得，先把甲、乙排在两端，其他 4人排中间，
由分步乘法原理得，共有 22 44 = 48 种方法．
(2)由题意得，除 ， ， 外，剩余的 3人先排列，有 33 = 6 种方法，
然后把 ， 捆在一起看成整体与 去插空,最后 A，B 之间顺序可以改变，共有 2 24 2 = 24 种方法，
由分步乘法原理可得，共有 6 × 24 = 144种方法．
18.【答案】解：(1)设数列{ }的公差为 ，∵ 1, 2, 5成等比数列，∴ 22 = 1 5，
即( + )21 = 1( 21 + 4 )，∴ 12 + 2 1 + = 12 + 4 1 ，由题意 = 2
故 12 + 4 1 + 4 = 12 + 8 1，得 1 = 1，∴ = 1 + 2( 1) = 2 1
即 = 2 1．
1 1 1 1 1
(2)由(1)知， = = ， +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1
所以 = 2 1
1 1 1 1 1 1 1
3 + 3 5 + . . . + 2 1 2 +1 = 2 1 2 +1 = 2 +1．
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19.【答案】解：(1)如图，连结 ， ，
在直角三角形 中，∠ = ， = 400( )，
所以 = 400cos ( )，
由于∠ = 2∠ = 2 ，
所以弧 的长为 200 × 2 = 400 ( )，
所以 = 2 × 400cos + 400 = 800cos + 400 ， ∈ 0, 2 ；
(2)由(1)得 = 800cos + 400 ， ∈ 0, 2 ，
所以 ′ = 400 2sin + 1 ∈ 0,

， 2 ，
0 < < = 当 6时， ′ > 0，当 6时， ′ = 0，当6 < < 2时， ′ < 0，

所以 在 0, 6 上单调递增，在 6 , 2 上单调递减，

当 = 6时， 有最大值 6 = 800cos
+ 400 × 6 6 = 400 3 +
200
3 ，
= 200 所以当 6时，绿化带总长度最大，最大值为(400 3 + 3 )米.
20.【答案】解：(1) ∵ = +1 2，∴ 1 = 2( ≥ 2)，
两式相减得 +1 = 2 ( ≥ 2)，
∵ 1 = 2， 2 = 1 + 2 = 4，∴ 2 = 2 1，
∴ +1 = 2 ( ∈ )，

∵ = 2 ≠ 0 ∴ +1 = 2( ∈ 1 ， )，
∴数列{ }是以 2为首项，2为公比的等比数列，∴ = 2 ;
(2)由(1)可知 = log 2 = log22 = ，
= = 2 ，
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∴ = 1 21 + 2 22 + 3 23 + + 2
2 = 1 22 + 2 23 + + ( 1) 2 + 2 +1
两式相减得： = 2 + 22 + 23 + + 2 2 +1 = 2 2
+1
2 +1 ，1 2
化简得 = ( 1) 2 +1 + 2．
21.【答案】解：(1) = 1 ( ) = 1 + 1当 时， 22 2 4 + 1，定义域为（0，+∞）
∴
2 1
′( ) = ，2
可知函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
5 1 3 2 2
又 (1) = 4， ( ) = 2 +
1
， ( ) = 1 + ，对比可得1
3 1
4 2 >2 4 2+ 4 2+ 4 2
2
∴ ( ) 1 5在区间[ , ]上的最大值为 ( ) =
1 + ，最小值为 (1) = 4．2 4
2
(2) ′( ) = ( +1) + ， ∈ (0, + ∞)，
①当 + 1 ≤ 0，即 ≤ 1时， ′( ) < 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递减；
②当 ≥ 0时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增；

③当 1 < < 0 时，由 ′( ) > 0 得 > +1；由 ′( ) < 0 得 0 < < +1，
∴ ( )在( +1, + ∞)上单调递增，在(0, +1)上单调递减；
综上，当 ≥ 0时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 1 < < 0时， ( )在( +1, + ∞)

上单调递增，在(0, +1)上单调递减；
当 ≤ 1时， ( )在(0, + ∞)上单调递减．
22．【答案】
(1)证明: 因为 = 1，所以 ( ) = 2 + 2ln ，函数定义域（0，+∞）
2 2
函数 ( ) = ( ) 的零点个数，即为 ( ) = 的解的个数
4 4

( 2)( 2 1) ( 2)

′( ) = ，令 ( ) =
， > 0，则 ′( ) = ．
2
3
当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
则 ( ) = (2) = > 1, 所以 2 1>0,4
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故当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0，当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0，
即 ( )在区间(0,2)上单调递减，在区间(2, + ∞)上单调递增；
2 2 2 5 2
则 f(x) min=f(2)= -2+2ln2 < ,
1 1
又因为 ( ) = 4 2 2> , f(5)= 5+ 2 5 >
4 4 2 2 4 25 4
2
故 ( )在(0,2)和(2, + ∞)分别存在一个零点，因此 ( ) = ( ) 有两个零点。
4
(2)
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