河南省南阳地区2022-2023学年高二下学期期中热身摸底检测数学试题（Word版含答案）

南阳地区2022-2023学年高二下学期期中热身摸底检测
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在数列中，，，则（ ）
A．5 B．6 C．14 D．15
2．在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．30 B．36 C．24 D．48
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．在正项等比数列中，若，是方程．的两个不同的实根，则（ ）
A．10 B．5 C．9 D．
6．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：
脚长 22 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
欧码 35 35.5 36 36.5 37.5 38 38.5 39 40 40.5 41 42
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（ ）
A．36码 B．36.5码 C．38码 D．39码
7．设数列的前n项和为，，，且，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（ ）
A． B．4 C． D．8
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（ ）
A．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关
B．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关
10．下列求导正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．某产品的售价x（单位：元）与月销量y（单位：百件）的数据如下：
x 13 14 15 16 17
y 19 m n 13 11
已知当时，y关于x的线性回归方程为，当时，该产品月销售量为0，下列结论正确的是（注：利润＝销售额－成本） （ ）
A．
B．
C．若该产品的售价为20元，则估计月销售金额为10000元
D．若该产品每件的成本为10元，则预测该产品的月利润最高为7812.5元
12．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是递减数列
C．若数列的前n项和为，则
D．若存在，使得成立，则m的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知，则______．
14．设等比数列的前n项和为，公比，，则满足条件的一个的值为______．
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______ cm/s．（本题第一空2分，第二空3分）
16．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动．”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态．某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示．
喜欢跑步 不喜欢跑步 总计
男生 50 120
女生 30
总计 200
（1）分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
（2）能否有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
18．（12分）
设等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（12分）
已知函数．
（1）若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；
（2）当时，求曲线过点（1，0）的切线方程．
20．（12分）
某研发小组为了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（1，2，…10），建立了两个函数模型：①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设， （1，2，…10），经过计算得如下数据．
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型．
（2）①根据（1）中选择的模型及表中数据，建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
②当年研发资金投入量约为亿元时，年销售额大致为亿元，若正数a，b满足，求的最小值．
参考公式：相关系数，
线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，．
21．（12分）
某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%．已知该设备第一天生产某种零件1000件，且该设备每天最多可以生产该零件5000件．记第一天该设备生产的零件数量为件，第n天生产的零件数量为件．
（1）求该设备第二天和第三天的总产量；
（2）求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：取，）
22．（12分）
在数列中，，．
（1）求的通项公式．
（2）设，若是递增数列，求t的取值范围．
南阳地区2022-2023学年高二下学期期中热身摸底检测
数学参考答案
1．C 由题意可得，，．
2．B 由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．
3．A 设数列的公差为d，由题意可得，则．
4．B 由题意可得，则，解得，故．
5．D 由题意可得，所以，则．
6．C 由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．
7．B 因为，所以．因为，所以，即，则．因为满足上式，所以，则．因为，所以数列在时递减，在时递增．因为，，所以的最小值是．
8．A 由题意可得．令，解得 （舍去）．因为，所以点到直线的距离，则A，B之间的最短距离是．
9．BD 因为，所以有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关，即在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关．
10．BCD 若，则，故A错误．若，则，故B正确．若，则，则C正确．若，则，则D正确．
11．BCD 当时，y的估计值是15，则不一定正确，故A错误．由题意可知，，则，解得，则B正确．当该产品的售价为20元时，月销量百件，则估计月销售金额为元，则C正确．由题意可知该产品的月利润的估计值为百元，即预测该产品的月利润最高为7812.5元，则D正确．
12．ACD 因为，所以，，则，故由题意可得，则因为，所以，则A正确．因为，所以不是递减数列，则B错误．
因为所以当时，，所以，所以，即，即，即，故C正确．
当时，，所以，所以．当时，，则由数列的单调性可知．因为存在，使得成立，所以，即，解得，则D正确．
13． 由题意可得，则．
14．3 （答案不唯一，只要即可）由等比数列的前n项和公式可得，则，解得．
15．匀速； 设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，则水和铁块的体积为，即①．铁块距离杯底的高度为②．由①②可得．令函数，则．故水面将匀速下降，下降的速度为．
16．200 当时，，
当项数k最大时，，则，
，，…，，
将以上各式相加得，
即，
，即，则．
17．解：（1）由题意可得样本中女大学生有人，则女大学生喜欢跑步的频率是，
故该地女大学生喜欢跑步的概率是．
由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，
则男大学生喜欢跑步的频率是，
故该地男大学生喜欢跑步的概率是．
（2）由题意可得．
因为8.333＞6.635，所以有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关．
18．解：（1）由题意可得解得，．
故．
（2）由（1）可得，
则
．
19．解：（1）由题意可得．
因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立，
即恒成立，则，
解得，即a的取值范围是[-3，3]
（2）当时，，则．
当（1，0）是切点时，所求切线斜率，
则所求切线方程为．
当（1，0）不是切点时，设所求切线与曲线的切点为，
由导数的几何意义可得，
整理得，即，
解得或 （舍去），
则所求切线斜率，
故所求切线方程为．
综上，所求切线方程为或．
20．解：（1） ，
，
因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
（2）①因为，所以，即．
由题中数据可得，
则，从而v关于x的线性回归方程为，
故，即．
②将年销售额亿元，代入，得，解得，则．
故
．
因为，当且仅当，即时，等号成立，此时，符合题意，
故M的最小值为．
21．解：（1）由题意得，，
则，，
故该设备第二天和第三天的总产量为件
（2）设第k天可以达到该设备的最大产能，
由题意可得，
两边取常用对数得，即，
则，
因为，所以k的最小值是10，即至少需要10天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能．
22．解：（1）因为，所以，即．
因为，所以，则是以1为首项，4为公比的等比数列．
故，即．
（2）由（1）可得，则，
故．
因为是递增数列，所以，即．
当n为奇数时，，即，
易知单调递减，所以；
当n为偶数时，，即，
易知单调递增，所以．
综上，t的取值范围为．