重庆地区(重庆市县綦江县)

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名称 重庆地区(重庆市县綦江县)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2007-09-08 18:20:00

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文档简介

第 二 轮 专 题 复 习
专题一 函 数
【考试要求】
1、 了解映射、理解函数的概念。
2、 了解函数的单调性、奇偶性,掌握判断一些简单函数单调性、奇偶性的方法。
3、 了解反函数概念及互为反函数图像关系会求一些简单函数的反函数。
4、 理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂运算性质,掌握指数函数概念、图像、性质。
5、 理解对数的概念,掌握对数运算性质,掌握对数函数概念、图像、性质。
6、 能运用函数的性质、指数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
【命题解读】
函数是研究变量及相互关系的数学概念,是变量数学的基础,是高中数学的一条主线,其观点和方法贯穿高中数学的全过程,是近几年高考的重点,在选择、填空、解答题中都有所涉及。其试题特点:稳中求变,变中求新,新中求活,试题从定义、简单性质的运用发展到新信息、新定义型题型,突出了对知识的交汇。考查学生的逻辑思维、运算、分析和解决问题的能力。
1、 函数的概念部分常涉及试题的五个方面
(1) 集会与映射作为基本语言和工具出现在试题中。
(2) 原始意义上的函数问题。
(3) 方程、不等式作为函数问题解决。
(4) 数列作为特殊函数成为高考热点。
(5) 辅助函数法。
2、单调性、奇偶性是命题热点,三档难度都有,可涉及具体函数和抽象函数,特别注意单调性是某个区间上的性质,奇偶性是函数整个定义域上的性质。
3、反函数常以选择、填空出现,并伴有其他性质考查。
4、函数图像能体现各种性质,体现数形结合的特征和方法,特别是图像的平移、对称等变换和利用函数图像的直观性解题。可以起到化繁为简、化难为易的作用。
5、 二次函数、指数函数、对数函数是每年高考的重要内容,三类题型都有,常见三类题型
(1) 运用图像和性质解决基本问题,要求掌握图像和性质并能灵活运用。
(2) 综和性题目,要求有较强的分析能力和逻辑思维能力。
(3) 应用类题目,要求有较强的建模能力。
注意函数与向量、数列、导数等知识结合(热点)
6、 有实际背景、实际意义的数学问题(应用问题)有三种来源
(1) 通过改编的与实际生活相关的应用题。
(2) 与横向学科相联系的应用题。
(3) 从社会热点出发,有实际生活背景、题意新颖的数学问题。
【知识点】
1、 映射与函数的概念。反函数概念。
2、 几个性质。
3、 几种图像变换形式。
4、复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的,因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系,函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集.
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律:
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么
若u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数y=f[g(x)]为增函数;若u=g(x),y= f(u)增减性不同,则y=f[g(x)]为减函数.
(2)奇偶性规律
若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数.
【题型讲解】
1.(2006年安徽卷)函数 的反函数是( )
A.B.C. D.
【思维展示】
有关分段函数的反函数的求法,选C。
【学习体验】
反函数的求法 分段 函数
分段函数是近年高考的一个热点,对其研究:定义域、值域、单调性、反函数等应加以重视.
2.(2006年安徽卷)函数对于任意实数满足条件,若则__________。
【思维展示】
由得,所以,则。
【学习体验】
认识对应法则推导周期的有关结论,应学会这种思维方法,提高对函数本质属性的理解。
3.(2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank ))设函数的图像过点,其反函数的图像过点,则等于( )
(A)3    (B)4    (C)5    (D)6
【思维展示】
f(2)=1,即loga(2+ b)=1,a=2+b。有loga(8+b)=2,,选B;
【学习体验】:函数和反函数的概念和关系,以及对数的运算;未能正确的理解函数和反函数的关系;函数和反函数是高中的难点之一,在复习时要加深对函数,反函数概念性质的理解,熟练掌握与函数有关的各种解题方法和技巧
4.(2006年陕西卷 ( http: / / / exam / 2006-06-07 / 192541160.html" \t "_blank ))已知函数若则 (A)
(A)       (B)
(C)        (D)与的大小不能确定
【思维展示】
f(x1)-f(x2)== =,,又x1+x2=1-a,0所以f(x1)-f(x2)<0,故选A
【学习体验】
函数的性质,不等式的应用;利用比较法时计算上的错误 ;二次函数,二次不等式,二次方程,是高考中的重点内容,复习时涉及到它们基本的性质,方法要熟练掌握,加强计算的训练
5.( 2006年重庆卷)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是 ( D )    
题 (9)图
     
【思维展示】
面积的增加速度是先逐渐增快然后减慢。D;
【学习体验】根据图形变化判断函数增减;不能根据图形的变化判断函数图像的走向;学生要注意培养自己数行结合的一种思维品质。
6.(2006年全国卷II)函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点
对称,则f(x)的表达式为 (D )
(A)f(x)=(x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0=
(C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0=
【思维展示】
的图象与图象关于原点对称
【学习体验】利用图象变换求函数表达式;不清楚利用图象变换求函数表达式的方法;熟练掌握函数图象变换与函数表达式之间的关系
7.(2006年天津卷)已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( D )
A.   B.    C. D.
【思维展示】
的图象与的图象关于对称
 
   
令因为在上单调递增
①当时 单调递增  
则满足题意 解得
②当时 单调递减  
则满足题意 解得
综合①②可得
【学习体验】
求反函数 复合函数单调性;求复合函数单调性中换元后的新变元的取值范围易丢掉;掌握求复合函数单调区间的基本思路
8. (2006年湖北卷)关于的方程,给出下列四个命题:
①存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 (B)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【思维展示】
选B。本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令①,则方程化为②,作出函数的图象,结合函数的图象可知:(1)当t=0或t>1时方程①有2个不等的根;(2)当0故当t=0时,代入方程②,解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根;当方程②有两个不等正根时,即此时方程②有两根且均小于1大于0,故相应的满足方程的解有8个,即原方程的解有8个;当时,方程②有两个相等正根t=,相应的原方程的解有4个;故选B。
9.(2006年北京卷)已知是上的减函数,那么的取值范围是 (C)
(A) (B)
(C) (D)
【思维展示】
为减,则0【学习体验】函数单调性;未能理解分段函数是一个函数;分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复习课时认真对待.
10. (2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (B)
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
【思维展示】
B;根据可知函数的周期为4,由为奇函数可得
f (0)=0, f (6)=f (2)=-f (0)=0
【学习体验】
函数的奇偶性及周期性.;运用奇函数的性质: 定义在R上的奇函数有f (0)=0及得不出周期性;函数奇偶性在每年的高考试题中均出现,体现了函数是高中数学教学的主线,在复习时应注意函数的灵活性.重点掌握函数性质的应用及函数表达式的变形.
11.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是   ( A   )
A.1       B.2 C.3       D.4
分析③正确,
说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零.
12.若y=log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是(  )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使log(2-ax)有意义,即a>0且a≠1,2-ax>0.②使log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数.由于所给函数可分解为y=logu,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0时为减函数,所以必须a>1;③[0,1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集.
解法一:因为f(x)在[0,1]上是x的减函数,所以f(0)>f(1),
即log2>log(2-a).
解法二:由对数概念显然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是减函数,y= logu应为增函数,得a>1,排除A,C,再令
故排除D,选B.
说明:本题综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法都需要概念清楚,推理正确.
13.已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为____.
分析:由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x +100)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得
求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.
说明:函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的,是“互相利用”关系,函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途.
14、对于满足的一切实数,不等式恒成立,试求的取值范围。
讲解 不等式很容易让我们联想到二次函数:
基于这种认识,本题实质上就是:对于二次曲线系(),考虑使得恒成立的的取值范围。
对于每一个给定的,由于的二根分别为,记,,则的解集为:
=
所以,当在区间上变化时,使得恒成立的的取值范围就是所有的交集。
因为,所以,的最大值为3,的最小值为。
所以,本题的答案应该为:。
上述解法实际上源于我们思维的一种定势,即习惯于把当作变量,而把其余的字母作为参数。而事实上,在上面的不等式中,与的地位是平等的。如果我们换一个角度看问题,即把作为自变量,而把作为参数,则可以得到下面的另一种较为简洁的解法:
考虑关于的函数:,
可以看到:是关于的一次函数或常数函数,要使得对于满足的一切实数,恒成立,由函数的单调性可知,需且只需:
解之得:或。
点评 (1)不等式与函数有着千丝万缕的联系,通过适当的转化,可以使得问题的表述更接近于我们熟悉的知识,从而得解。(2)注意利用函数的性质解题。(3)注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时,也要敢于打破思维定势,换一个角度看问题。
抽象函数问题
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识.可以说,这一类问题,是考查学生能力的较好途径,因此,在近年的高考中,这一类题目有增多和分量加重的趋势
15、 ( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
【思维展示】
(Ⅰ)因为对任意xεR,有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1.
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(Ⅱ)因为对任意xεR,有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR,有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x+ x0= x0,
又因为f(x0)- x0,所以x0- x=0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)- x2 +x=0,即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1,即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为
f(x)= x2 –x+1(xR).
【学习体验】
函数与不等式综合,与函数方程;没有弄清函数方程;函数是高中数学中最重要内容之一,要重点掌握
抽象函数问题
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识.可以说,这一类问题,是考查学生能力的较好途径,因此,在近年的高考中,这一类题目有增多和分量加重的趋势。根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值,是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段;另外,如果能找到一个适合题目条件的函数,则有助于问题的思考和解决.
16、函数f(x)=(a,b是非零实常数),满足f(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值;
(2)是否存在实常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立?为什么?
(3)在直角坐标系中,求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值
解: (1)由f(2)=1得2a+b=2,又x=0一定是方程=x的解,
所以=1无解或有解为0,
若无解,则ax+b=1无解,得a=0,矛盾,
若有解为0,则b=1,所以a=。
(2) f(x)=,设存在常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立,
取x=0,则f(0)+f(m–0)=4,即=4,m= –4(必要性)
又m= –4时,f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性)
所以存在常数m= –4,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立。
(3)|AP|2=(x+3)2+()2,设x+2=t,t≠0,
则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10
=( t–+1)2+9,
所以当t–+1=0时即t=,也就是x=时,|AP| min = 3
函数值域的应用
(1)函数值域的常用求法 ( http: / / www. / wxc / ) 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 ( http: / / www. / wxc / ) 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域 ( http: / / www. / wxc / )
(2)运用函数的值域解决实际问题,此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决,此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ( http: / / www. / wxc / )
17:已知函数f(x)=,x∈[1,+∞,(1)当a=时,求函数f(x)的最小值 ( http: / / www. / wxc / )
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围 ( http: / / www. / wxc / )
分析 ( http: / / www. / wxc / ) 解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得 ( http: / / www. / wxc / )
(1)解 ( http: / / www. / wxc / ) 当a=时,f(x)=x++2
∵f(x)在区间[1,+∞上为增函数,∴f(x)在区间[1,+∞上的最小值为f(1)= ( http: / / www. / wxc / )
(2)解法一 ( http: / / www. / wxc / ) 在区间[1,+∞上,
f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 ( http: / / www. / wxc / )
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞,∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增,
∴当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3 ( http: / / www. / wxc / )
解法二 ( http: / / www. / wxc / ) f(x)=x++2,x∈[1,+∞
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;
当a<0时,函数f(x)递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3 ( http: / / www. / wxc / )
点评 ( http: / / www. / wxc / ) 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力 ( http: / / www. / wxc / ) 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题. ( http: / / www. / wxc / )通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想 ( http: / / www. / wxc / )
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2007年第二轮专题复习
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