福建省漳平一中2014届高三5月考前围题文科数学试卷

福建省漳平一中2014年5月高三考前围题卷
数学(文科)试卷
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数, 若为纯虚数,则实数=（　　）
A. B. C.1 D.
2.下列导数运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知a∈R,且a≠0,则是的( ).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.函数y=ln(x+1)与的图像交点的横坐标所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为,
则判断框内应填入的条件是( )
A.k<3 B.k>3 C.k<4 D.k>4
6.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图像的一条对称轴为（　　）
A. B. C. D.
7. 已知函数则下列图象错误的是（　　）
8．设的内角所对边的长分别为,若,则角=（ ）
A． B． C． D．
9.已知直线a,b异面, ,给出以下命题:
①一定存在平行于a的平面使;②一定存在平行于a的平面使∥;
③一定存在平行于a的平面使;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.
则其中论断正确的是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④
10.已知分别为双曲线的左、右焦点, P为双曲线右支上一点,满足, 直线与圆相切, 则该双曲线的离心率是（　　）
A. B. C. D.以上都不正确
11.已知, 现有下列不等式: ①; ②; ③;
④; 其中正确的是（　　）
A. ②④ B.①② C.③④ D.①③
12．定义一：对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时， 恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.
定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数 在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.
下列函数①,②，③，④，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;,5;,4;,2.则样本在上的频率是 ．
14.已知函数(其中,,
)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解
析式是 .
15.设点是区域内的随机点,
记,
则事件A发生的概率是_____________________________.
16.设函数（） ,
四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有_______________
①是偶函数；②在单调递增；③不等式的解集为；
④关于实数的方程可能有无数解．
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分12分）
汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）.
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为.
（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？
（Ⅱ）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列中，是它前项和，设.
(I)求数列的通项公式；
(II)若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，……，按取出的
顺序组成一个新数列，试求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.
(Ⅰ)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)若棱锥E-DFC的体积为,求a的值;
(Ⅲ)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
20. (本小题满分12分)
如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆，直线
恒过的定点为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线为垂直于轴的动弦，且均在椭圆上，定点，直线
与直线交于点．
①求证：点恒在椭圆上； ②求面积的最大值．
22.(本小题满分14分) 已知函数有两个极值点且
(I)求实数的取值范围,并写出函数的单调区间;
(II)判断方程:根的个数并说明理由;
(III)证明:.
漳平一中5月高考模拟数学(文科)试卷
数学(文科)参考答案
1-6 ADBBCC 7-12 BDBBDC
13. 14. 15 . 1/3 16 . ①③④
17. （本小题满分12分）
解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：
（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），
（120，140），（120，150），（140，150）。…………………………………………. 2分
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：
（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）
∴
答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7.…………………………. 6分
（2）由题可知，，
解得 。 …………………………….7分
又 ……………………………. 8分
∴，
……………………11分
∵
∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 …………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）设数列.则由已知得:
①， ② …………4分
联立①②解得…………6分
（Ⅱ） ………………9分
所以 ………… 12分
19.解(1)AB//平面DEF,
如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,
又AB平面DEF,∴AB//平面DEF, ……4分
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2
,a=2. ……8分
(3)存在满足条件的点P.
做法:因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.
证明:∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.
故AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ……12分
20.解法一:设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).…………………4分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－22 sin(120°θ) cos(60°＋θ) ………………………………6分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． ………………………10分
当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:设计∠AMN为60(时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分
解法二(构造直角三角形):
设∠PMD＝θ,在△PMD中,
∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分
在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,
AM＝sinθ,
∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………4分
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………6分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).…………………………10分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30° …………………………12分
解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.
在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………………………2分
因为＝,即＝,
所以sinα＝y,cosα＝＝＝.………………………4分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.…6分
在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP2＝x2＋4－22x＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.……………………10分
因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.
答:设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分
解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN＝2,
∴(x1－x2)2＋3x＝4.…………………………2分
MN的中点K(,x2)．
∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,
∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3,
kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分
∴y0－x2＝(x0－),∴(y0－x2)2＝(x0－)2
∴(1＋)(x0－)2＝3,即(x0－)2＝3,∴(x0－)2＝x．
∵x0－＞0 ∴x0－＝x2,
∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1． …………………6分
∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋42＝12,……………………10分
即AP≤2.
答:设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……… 12分
解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知:AP的最大值为PF＋R.……6分
在△AMN中,由正弦定理知:＝2R,
∴R＝,…………8分
∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．
即FE＝，又PE＝.………10
∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2.
答:设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）直线可化为
，……1分 由得，
， ， ………… 3分
又，，椭圆的方程为 ………4分
（2）①设直线的方程为，则可设，且
直线的方程为，直线的方程为…… 6分
联立求得交点，…… 7分 代入椭圆方程得，
，化简得：
点恒在椭圆上. ……………… 8分
②直线过点，设其方程为，
联立得，
………… 9分
，
令，则
在上是增函数， 的最小值为10.
………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域为,
;…………………1分
且有两个不同的根, ∴且有两个交点.
有两个交点
求得: ∴的取值范围是.…………………3分
(也可利用判别式; 又).
∵ ∴
∴单调增区间为和.
单调减区间为 ………………………5分
(Ⅱ)由已知方程: =0
∴令,
…………………7分
x
2
+
0
-
0
+
极大值
极小值

时,;
时,;
∴有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分
(III)由(Ⅰ)可知 , ………………………10分
并且由得:. ………………………11分
∵=,
, 其中………13分
∴, 函数在递增;
∴. ………………14分