2023届高三4月信息卷——数学试题（二）（含解析）

2023届高三下学期4月信息卷——数学试题（二）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
3．.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C．2 D．
4．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．(1，＋∞) D．(1，3]
5．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丁相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ）
A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸
7．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．若正实数x，y满足，则的最大值为2
C．若，则
D．不等式对恒成立
10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（ ）
A．直线与直线共面 B．
C．直线与直线的所成角为 D．三棱锥的体积为
11．抛物线的焦点为为坐标原点，，过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．
C．的最小值为4 D．
12．若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的为（ ）
A．和关于直线对称
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
三、填空题
13．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ______
14．在二项式的展开式中，的系数为____.
15．已知，则__________.
16．双曲线的左焦点为，，过点A作C的渐近线的垂线，垂足为M．若，则C的离心率为______．
四、解答题
17．设数列的前项和为，若，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和．
18．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
19．某校筹办运动会，设计了方案一、方案二两种方案、为了解对这两种方案的支持情况，在校内随机抽取名同学，得到数据如下：
男 女
支持 不支持 支持 不支持
方案一 人 人 人 人
方案二 人 人 人 人
假设校内所有同学支持何种方案互不影响．
(1)依据所给数据及小概率值的独立性检验，能否认为支持方案一与性别有关？
(2)以抽取的名同学的支持率高低为决策依据，应选择哪种方案？
(3)用频率估计概率，从全校支持方案一的学生中随机抽取人，其中男生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
20．如图，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱锥，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
21．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
22．已知函数（a∈R）．
(1)讨论的单调性：
(2)证明：对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求解即可.
【详解】解得，.
所以，， .
故选：A.
2．A
【分析】利用复数的除法求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式求解.
【详解】,
因为复数为纯虚数，
，解得
故选：A.
3．A
【分析】设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.
【详解】设，
因为，所以，
则，
又因为，所以，解得.
故选：A.
4．A
【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故选：A.
5．C
【分析】根据独立事件的概念分别判断.
【详解】由题意得，，，，，，，，
根据独立事件的乘法公式可得甲与丙相互独立，
故选：C.
6．D
【分析】由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得．
【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为寸，
则盆中水体积为（立方寸）
所以平地降雨量为（寸），
故选：D．
【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解　题意是解题关键．本题属于基础题．
7．D
【分析】可以通过取对数进行比较，可以构造函数，利用函数的单调性求解.
【详解】，，则，，而，则有，即；
设，，则在上为增函数，则有，即.
综合可得：．
故选：D
8．A
【分析】根据，令，可求得，再根据函数的对称性可得及，再令，可求得，即可得出答案.
【详解】解：因为函数满足，
所以，所以，
又的图象关于直线对称，
所以，且，
则，
所以，
所以，
无法求出.
故选：A.
9．AD
【分析】对A：解一元二次不等式即可判断；对B、C：利用基本不等式分析判断；对D：整理可得，结合正弦函数的有界性分析判断.
【详解】对A：，解得，
故不等式的解集是，A正确；
对B：∵，则，当且仅当时等号成立，B错误；
对C：∵，令，则，可得，
当时，则，当且仅当，即时等号成立；
当时，则，当且仅当，即时等号成立
故；
综上所述：，C错误；
对D：，
∵，
∴不等式对恒成立，D正确.
故选：AD.
10．BD
【分析】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，对于A，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B，通过计算进行判断，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用求解.
【详解】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，则
，，
，
对于A，假设直线与直线共面，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，
因为∥，所以∥，矛盾，所以直线与直线不共面，所以A错误；
对于B，因为，
所以，所以，所以，所以B正确，
对于C，设直线与直线的所成角为，因为，
所以，
所以，所以C错误，
对于D，因为平面，
所以，所以D正确，
故选：BD.
11．AC
【分析】求出，即可得抛物线方程，即可判断A；根据抛物线得定义即可判断B；设直线的方程为，联立方程利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合二次函数的性质即可判断C；求出结合焦半径公式即可判断D.
【详解】解：依题意得，，，故A正确；
由抛物线定义，
，故B错误；
设直线的方程为，
联立，消得，
则，
则，，
则，
所以当时，，故C正确，
，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】选项A，计算证明和互为反函数，即可；选项B，利用导数研究曲线的切线方程，可用含的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线，即可得解；选项C，设，，，利用，并结合斜率的计算公式，可得；选项D，若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，再结合选项B中所得，求出和的值．
【详解】选项A，在两边取对数，有，所以，
所以和互为反函数，即和关于直线对称，故A正确；
选项B，当时，：，：，
对于：，有，
因为直线：为曲线的切线，所以，即，此时，
所以切点坐标为，
将其代入切线方程中，有，整理得，即B正确；
选项C，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，
解得，，
所以，即，
因为，所以，即，故C错误；
选项D，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项B可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．
故选：ABD．
【点睛】知识点点睛：互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.
13．2
【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】设等差数列的公差为d，
因为等差数列的前项和为，，
所以，所以公差．
故答案为：．
14．
【解析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：15.
15．##
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
故答案为：
16．2
【分析】设，则，再根据与渐近线垂直可得的坐标，进而根据，利用正切值列式计算即可
【详解】由题意，设，因为，则.又与渐近线垂直，且，故，所以，故 ，即，又，所以，即，故，，即，故离心率
故答案为：2
17．(1)
(2)
【分析】（1）用替代得到新的等式，消去，得到关于的递推关系进行求解；
（2）利用错位相减法进行求解.
【详解】（1），
时，，
化为，
时，，解得，
，满足，
数列是等比数列，公比为，首项为，
．
（2），，
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为．
18．选①，；选②，；选③，
【解析】根据选择的条件，利用正余弦定理，求出边长，再利用面积公式即可求出.
【详解】解：选择①
，
，
即，
化简得：，
又，
，
即，，
，，
由余弦定理得:，
解得:，，
的面积为；
选择②
，
由正弦定理可得，
又，
，
由，
即，
，
即，，
由余弦定理得，
解得：，，
的面积为；
选择③
由及，
得：，
即，
由正弦定理得：，
，即，
，
，
由，得：，，
，
，
的面积为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
19．(1)认为支持方案一与运动员的性别有关，此推断犯错误的概率不大于
(2)应选择方案二
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据数据列出列联表，计算的值，与临界值表作比较即可得出结论；
（2）分别计算支持两个方案的频率，比较可得结果；
（3），计算取每个值的概率可得分布列，代入二项分布的期望公式计算即可求解．
【详解】（1）根据数据可得方案一的列联表：
支持 不支持 合计
男
女
合计
零假设为：支持方案一与运动员的性别无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为支持方案一与运动员的性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
（2）由题设表格中的数据可知，
支持方案一的频率为，
支持方案二的频率为，
，本次运动会应选择方案二．
（3）男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为，
则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
20．(1)证明见解析；
(2)点到平面的距离为.
【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，，
所以，故，
又，平面，，
所以平面，因为平面，
所以，
在等腰梯形ABCD中，，
所以，
所以，又，
所以，
因为平面，，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）由（1）平面，，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，
21．(1)；
(2)过定点，.
【分析】（1）根据已知条件列方程即可解得值，方程可求解；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程结合韦达定理得关系，又得，代入坐标化简即可求解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立
整理得，
则，即
又，
因为，所以，
所以
所以，
即
整理得，即，此时
则直线的方程为，故直线过定点.
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况，讨论函数的单调性；
（2）由（1）的单调性可知，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理证明.
【详解】（1），
当，则，则函数在上单调递减，
若，令，得，当，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，当，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，
因为，
设，
，
所以在上单调递减，所以，即，
由零点存在性定理知，使得，
取，则，且.
【点睛】本题考查函数的单调性，导数及其应用，考查推理，论证，运算能力，考查函数与方程思想，化归于转化思想，分类与整合思想，本题的关键是根据，构造函数，再根据导数判断，
答案第1页，共2页
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