广东省佛山市顺德区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

佛山市顺德区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C．－6 D．2
3．已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则（ ）
A． B． C．96 D．729
4．已知函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知是偶函数的导函数，．若x≥0时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
8．已知函数，若函数有五个不等实根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．学校食堂某窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法中正确的是（ ）
A．若甲选一荤一素，则有6种选法
B．若乙选两份素菜，则有3种选法
C．若两人分别打菜，则总的方法数为18
D．若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为30
10．已知数列满足，，设．则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等差数列 C． D．
11．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为－e，极大值为
B．函数存在3个不同的零点
C．当时，函数的最大值为
D．当时，方程恰有3个不等实根
12．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，…，其边长依次记为，，，…，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知有一个极值点为4，则m的值为 ．
14．为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那么五个学科复习时间的顺序安排总共有 种（用数字作答）．
15．设函数的导函数为，若函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
16．已知数列满足，，则数列的通项公式 ，前n项和 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10.0分）
“烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅．”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有甲、乙两名志愿者和A，B，C，D四名学生排成一排合影留念，求下列不同的排法种数．
（1）甲、乙两人必须站在两端；
（2）A，B两人相邻且A，B均不与C相邻．
18．（本小题12.0分）
已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（本小题12.0分）
如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计线段小路，在路的两．侧．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC＝θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．
20．（本小题12.0分）
已知数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，，求数列的前n项和．
21．（本小题12.0分）
已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）讨论函数的单调性．
22．（本小题12.0分）
已知函数，．
（1）当k＝－1时，证明函数有两个零点；
（2）若函数有唯一极值点，求k的取值范围．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列数的计算公式，一元二次方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用排列数的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵，
∴，
解得或（舍）．
故答案为：C．
2．【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查导数的概念，属基础题．
根据导数的定义计算即可．
【解答】
解：∵l，
∴．
故选B．
3．【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质及等差中项的概念，考查运算能力，属于基础题．
由题意，可设公比，得到，解得q，再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：
设正项等比数列的公比为，
，
∴，
∵与的等差中项为9，
可得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
则．
故选C．
4．【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了导函数函数图象与原函数图象的关系，属于较易题．根据函数的单调性和函数导数符号的关系即可找出可能的图象．
【解答】解：根据原函数为减函数时，，增函数时，，
从而可判断只有选项D的图象符合．
故选D．
5．【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．
【解答】
解：等差数列中，，
则，，
∴，
解得，．
∴
，
∴当时，取得最小值．故选B．
6．【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
设，求导得，进而可得x≥0时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案．
【解答】
解：设，
，
，单调递增，
因为为偶函数，
所以，
所以，
所以为奇函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
故选：D．
7．【答案】A
【解答】
解：∵各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，
∴由题意得，
根据等比数列的性质得到：
，
∵，，
∴该数列为递减的等比数列，
∴，，
∴当其前n项的乘积取最大值时n的值为1011．
故选：A．
8．【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性和极值，二次函数的图像和性质，考查数形结合的数学思想，属于较难题．
当时，，求导可得当时，单调递增；当时，单调递减，作出图像，令，则，由题意可知方程有两个不相等的实根，设为，，且，，设，再结合二次函数的图像，列出关于m的不等式组，解出m的取值范围即可．
【解答】
解：当时，，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
且，作出图像，如图所示：
令，则，
当时，有2个解，
当时，有3个解，
当时，有2个解，
当时，只有1个解，
∵方程有五个不等实根，
∴方程有两个不相等的实根，
设为，，
则，
且，，
（若一个解在，一个解在，则不满足），
设，
则，
即，
解得：．
故选：D．
9．【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查两个计数原理和排列组合的应用，属于基础题．
应用两个计数原理和排列组合的应用，对每个选项逐一分析即可．
【解答】解：对于A，甲若选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，故A正确；
对于B，若乙从三份素菜中选两份素菜，则有3（种）方法，故B正确；
对于C，由A和B可知，若两人分别打菜，没人都有9种选菜方法，则两人选菜的总方法数为9×9＝81（种），故C错误；
对于D，若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，分为以下两类
若荤菜相同，素菜不同，则有（种），
若素菜相同，荤菜不同，则有（种），
总计有12＋6＝18（种），故D错误．
故选AB．
10．【答案】AD
【解答】
解：由条件可得，即，又，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误；
可得，所以，故D正确；
则，，可知A正确，C错误；
故选AD．
11．【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值和最值．属于中档题．
求出函数导数，利用导数研究函数单调性即可求出极值以及零点和最值，然后利用图象，即可得解．
【解答】
解：根据题意，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得极大值为，
当时，函数取得极小值为，故A正确；
作出函数大致图象：
由图象可知，当x趋于负无穷时，趋于0，故函数存在2个不同的零点，故B错误；
，故当时，函数的最大值为，故C正确；
当时，显然只有2个不等实根，故D错误．
故选AC．
12．【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理，以及数列的有关运算，属中档题．
由图中数据可得，，由题意可得，依据各项条件计算即可判断各项的正确性．
【解答】
解：由图中数据可得，，
由题意可得，
对于A：，，，则，故A正确；
对于B：，可得
，，故B正确；
对于C：，∴，
∴
，故C正确；
对于D：，故D错误
故选ABC
13．【答案】2
【解析】
解：由题，，令，则，，
因为 有一个极值点4，所以只需，即．
14．【答案】54
【解答】
根据物理复习时间的安排分为以下两类
第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学有3种，接下来三科有种安排，共有
第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，有3种，剩下四科中数学和物理采用插空法，有种安排，共有种。
两类相加，共有18＋36＝54种安排。
15．【答案】
【解答】
，则，可求，
所以有，，则曲线在点处的切线方程为，即
16．【答案】，
【解答】
解：∵数列满足，，
∴，
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列，
∴，
∴，
∴数列的前n项和为：
故答案为，
17．【答案】解：
（1）由题意得，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，
由分步乘法原理得，共有种方法．
（2）由题意得，除A，B，C外，剩余的3人先排列，有种方法，
然后把A，B捆在一起看成整体与C去插空，最后A，B之间顺序可以改变，共有种方法，
由分步乘法原理可得，共有6×24＝144种方法．
18．【答案】解：
（1）设数列的公差为d，
∵，，成等比数列，
∴，
即，
∴，由题意
故，得，
∴
即．
（2）由（1）知，，
所以．
19．【答案】解：
（1）如图，连结OC，BC，
在直角三角形ABC中，，，
所以，
由于，
所以弧BC的长为，
所以，；
（2）由（1）得，，
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，有最大值，
所以当时，绿化带总长度最大，最大值为米．
20．【答案】解：
（1）∵，
∴，
两式相减得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴；
（2）由（1）可知，
，
∴
两式相减得：，
化简得．
21．【答案】解：
（1）当时，，定义域为
∴，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，对比可得
∴在区间上的最大值为，最小值为．
（2），，
①当，即a≤－1时，，
∴在上单调递减；
②当a≥0时，，
∴在上单调递增；
③当时，由得；
由得，
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上，当a≥0时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当a≤－1时，在上单调递减．
22．【答案】
（1）证明：因为，所以，函数定义域
函数的零点个数，即为的解的个数
，令，，则．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，所以，
故当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增；
则，
又因为，
故在和分别存在一个零点，因此有两个零点。
（2）函数定义域，
，
由题意可得，是唯一的根，
故在上没有变号零点，
即在时没有变号零点，
令，，则
由（1）知
当时，取得最小值，且，；，
函数在的图像大致如右图所示
当即时，在时没零点，符合题意
当即时，有不变号零点，也符合题意
故答案为：．