河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

2022—2023学年（下）南阳六校高二年级期中考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．65 B．70 C．75 D．80
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．15
4．已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
5．观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（ ）
A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3
6．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：
10 a
b 30
若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．17
7．现有8个圆的圆心排列在同一条直线上，它们的半径由左至右依次构成首项为1，公比为3的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，若P，Q分别为第1个圆与第8个圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1024 B．2046 C．6560 D．6561
8．已知数列的前n项和，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于样本相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．若两个随机变量线性不相关，则
B．若，则两个随机变量没有任何相关性
C．r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．成对样本数据线性相关的正负性与r的符号（正负）相同
10．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间（a,b）上恒成立，则称在区间（a,b）上为凸函数．则下列函数中，为区间（0,2）上的凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．对于正整数n，用表示不大于n的正整数中与n互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 （1，5与6互质），则（ ）
A． B．数列是等差数列
C． D．数列的前n项和等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数满足，则______．
14．已知两个随机变量x和y的一组成对样本数据为（1,3），（2,4），（4,5），（9,n），若用最小二乘法求出回归方程为，则______．
15．牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的2次近似值．一般地，作曲线在点处的切线，记与x轴交点的横坐标为：，并称为r的次近似值．设函数的零点为r，取，则r的2次近似值为______．
16．若正项递增等比数列满足，则的最小值为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了200名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：
参观烈士陵园 植树
35岁以下的员工 34 66
35岁及以上的员工 56 44
（Ⅰ）求倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率；
（Ⅱ）是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．（12分）
已知正项等比数列满足条件，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求的最大值．
19．（12分）
某冷饮店为了解每天的用电量y（千瓦时）与销售额x（千元）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：
销售额（千元） 3 6 7 4 5
用电量（千瓦时） 2.5 4.5 6 3 4
（Ⅰ）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若某天的销售额为1万元，利用（Ⅰ）中所得的线性回归方程，预测这一天的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
20．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
（Ⅱ）求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
21．（12分）
已知等差数列的前n项和为，，且，数列的前n项和为，，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
22．（12分）
设正项数列的前n项和为，已知，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
2022—2023学年（下）南阳六校高二年级期中考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AD 10．ABC 11．BD 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．11 15． 16．8
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ）倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率为．
（Ⅱ）由2×2列联表可得，
因为．
所以有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关．
18．解析（1）设的公比为q，
由题意得，所以，
，
所以，．
所以．
（Ⅲ）．
二次函数的图象的对称轴为，
故当或11时，取得最大值，且最大值为．
19．解析（1）由表中数据计算得：，，
，，
所以，．
所以回归方程为．
（Ⅱ）将代入（Ⅰ）的回归方程中得：．
故预测这一天的用电量为8.25千瓦时．
20．解析（Ⅰ），
设，因为直线的斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2,0）．
（Ⅱ）设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
21．解析（Ⅰ）设的公差为d，
则
解得，．所以．
因为，所以当时，
所以即，
当时，，又，也满足．
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．
，①
，②
得，
，
故．
22．解析（Ⅰ）因为，所以①，
所以时，②．
由，得，即．
因为各项均为正数，所以，即，
即数列是公差为2的等差数列．
因为，所以，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以