辽宁省沈阳市第120中学2022-2023学年高一下学期4月第一次质量检测数学试题（含答案）

沈阳市第120中学2022-2023学年度下学期
高一年级第一次质量检测
数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．已知点O为坐标原点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记且，
则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数．令，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
6．已知函数（，）与直线交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则φ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若为第二象限角，且，则的值（ ）
A．4 B． C． D．
8．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，…，若P点坐标为，则（ ）
A．10 B．6 C．2 D．0
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求的，每道题全对得5分，部分选对得2分
9．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上有且只有3个最大值，在上有且只有2个最小值
C．在上单调递增
D．ω的取值范围是
10．对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数的值域是
B．当且仅当时，
C．当且仅当时，函数取得最大值1
D．函数是以π为最小正周期的周期函数
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的值域是 B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根．
12．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）
参考公式：
A．O为的垂心 B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，则的值是______．
14．求函数的定义域为______．
15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示．圆弧QRT是一个以O点为圆心、QT为直径的半圆，米．圆弧QST的圆心为P点，米，圆弧QRT与圆弧QST所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为______平方米．
16．如图所示，半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值______．
四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分
17．（本题10分）游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O距离地面40.5 m半径40 m（如图所示），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，
（1）求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
（2）若距离地面高度超过20.5 m时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？
18．（本题12分）已知向最，满足，，且．
（1）求向量与的夹角．（2）设向量，当时，求的取值范围．
19．（本题12分）已知，且满足．求：
（1）的值；（2）；（3）
20．（本题12分）已知函数，．
（1）若的最小值为，求m的值；（2）当时，若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．
21．（本题12分）函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本题12分）如图，在中，，，，D为边BC的中点．
（1）求的值；
（2）若点P满足，求的最小值：
（3）若点P在∠BAC的角平分线上，且满足．若，求的取值范围．
沈阳市第120中学2022-2023学年度下学期
高一年级第一次数学质量检测
答案
一．单选题1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A
二．多选题9．CD 10．ACD 11．ABC 12．ABD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16．
四．解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分
17．解：（1）设 （，），
则，，所以，
第一次到最高点旋转了半周期，所以，
游客从最低点登上，所以，故，（或）
（2）令，
则（或），
所以，
，，
所以，
因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有40 min最佳观景时间．
18．（本题12分）解：（1）因为．则．
因为，，则，解得．
设向量与的夹角为θ，则．又，则，所以向量与的夹角为．
（2）因为
，则．
因为，则当时，取最小值；
当时，取最大值4，所以的取值范围是．
19．（本题12分）解：（1）已知，且满足．
所以
∴，，
．
联立，解得，，．
（2）
（3）
．
20．（本题12分）
解：（1）函数．
当时，则，解得：，那么显然不成立
．．令．．
①当时，即，转化为
解得：，满足题意；
②当时，即，转化为
解得：，满足题意；
故得若的最小值为，m的值为4.5或；
（2）当时，，令．
∴转化为，其对称轴，∴上是递增函数．
．对任意．，都有恒成立，
，
可得：故得实数a的取值范围是．
21．（本题12分）
解：（1）由函数图象可知，，
，∴，，
∴，当时，，
∴，由得，∴，
由，得，
由，解得，．
∴函数的单调递减区间为．
（2）由，得，
由，可得，∴，
∴，
又，得，所以，
由的唯一性可得：即，
由，得，解得，
综上所述，当时，使成立．
22．（本题12分）解：（1）由勾股定理知，；
解法一（坐标法）：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，BC的中点，所以，，
所以；
解法二（基向量法）：
；
解法三（定义法）：
；
（2）由题意，点P在AC上，解法一（极化恒等式）：
，
所以当PD⊥CA时，此时，
取到最小值，即；
解法二（坐标法）：设，则，
所以的最小值是；
（3）解法一（坐标法）：以AC，AB为x，y轴建立坐标系，
则∠BAC的角平分线方程为，可以设，
则可以表示为
，
所以，，
，
当时，的取值范围是．
解法二（几何法）：由已知得，
则有，
即；
由①÷②得，所以，
所以，
所以．