第八讲图形的分割与拼合
【知识要点】
图形的分割，就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分成
两个或几个图形；图形的拼合，就是把一个图形通过分割后再重新拼接组
合，得到一个新的图形.
动手实践、观察思考，将计算与操作相结合，是解图形分割与拼合问
题的出发点；运用对称、全等、面积关系、不变量等是解图形分割与拼合问
题的方法策略.
【例题精讲】
例1(1)如图1，对三角形通过剪切，将它分成若干块，再拼成一个矩形.
【分析】图形的剪拼要将原来的图形按照特殊的方法分成几部分，利用
全等关系将剪下的图形重新组合得到一个新的图形.
【解答】如图1，取AB,AC的中点D,E,连接DE,过A作AF⊥DE,垂
足为F,沿DE,AF将三角形剪切成三部分，即可拼成矩形BCHG.
D
图1
图2
(2)如图2，对梯形通过剪切，将它分成若干块，再拼成一个矩形，
【解答】如图2，取AD,BC的中点E,F,分别过E,F作HI⊥AB,GJ
AB,垂足分别为点I,J,交CD边于点H,G,沿EI,FJ将梯形剪拼成矩
形HIJG.
(3)如图3，对四边形通过剪切，将它分成若干块，再拼成一个矩形.
【解答】如图3，分别取AB,BC,CD,AD的中点E,F,G,H,连接HF,
过E,G分别作EO1⊥HF,GO2⊥HF,垂足分别为点O,O2,沿HF,
86
EO,GO2将四边形ABCD剪拼成矩形KIO2J.
H
B
图3
图4
(4)如图4，对四边形通过剪切，将它分成若干块，再拼成一个平行四
边形
【解答】如图4，分别取AB,BC,CD,AD的中点E,F,G,H,连接EG,
FH相交于点O,沿HF,EG将四边形ABCD剪拼成平行四边形KIOJ.
【点评】(1)、(2)、(3)要求拼成矩形，而矩形的四个角都是直角以及对边
相等，因此在设计剪拼方案时应充分利用线段的中点和垂直关系；
(3)、(4)相当于将剪下的四部分图形中的左下、右上部分分别旋转
180°，右下角部分斜向上平移，即可拼成所求四边形.
例2(1)用一条直线把三角形分成面积相等的两部分，这样的直线有多
少条？
1
B
D
图1
图2
【分析】结合具体图形的面积公式，将一个图形恰当的分割为几部分面
积相等的图形.
【解答】如图1，取BC的中点D,连接AD,直线AD将△ABC的面积二
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等分：
如图2，取BC的中点D,在BC上任取一点E(不与B,C,D重合)连
接AE,过D作DF∥AE,交AB于点F,连接FE,直线FE将△ABC的
面积二等分.
这样的直线共有无数条.
【点评】同底（高）等高（底）的三角形面积相等.
(2)用一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有
多少条？
【解答】如图3，直线AC,BD,FG均可将平行四边形ABCD的面积二
等分，这样的直线有无数条.
【点评】平行四边形是中心对称图形，过其对称中心（对角线交点）的直
线都可以将其分成面积相等的两部分.
图3
图4
(3)用一条直线把梯形分成面积相等的两部分，这样的直线有多
少条？
【解答】如图4，分别取AB,BC,CD,AD的中点F,H,E,G,连接EF,
GH,交于点O,过点O的直线EF,JK都可以将梯形的面积二等分，这样
的直线有无数条.
【点评】如图4，过点O的直线都可以将梯形的面积二等分，
(4)能用一条直线把四边形分成面积相等的两部分吗？
【解答】如图5，连接四边形ABCD的对角线AC,BD,取BD的中点E,
过E作GF∥AC,分别交AB,BC于点G,F,连接AF,则直线AF将四边
形ABCD分成面积相等的两部分，
因为S△ADE十S△cDE=S△ABE+S△BEC
粥参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF
15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255