第十九讲
相似三角形的性质及其运用
【知识要点】
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例，而对应边之比称为相
似比，除此之外，还有以下一些常用性质：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等
于相似比.
(2)相似三角形周长之比等于相似比，
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
2.直角三角形的性质：
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD
⊥AB于D.
(1)图中有以下几对相似三角形.
△ACDC∽△ABC∽△CBD
(2)图中线段具有以下一些关系：
CD=AD·BD:AC=AD·AB;BC=BD·AB;AC:BC=
AD:BD.
(3)还可用如下方法证明勾股定理：
AC+BC=AB(AD+BD)=AB
【例题精讲】
例1如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2：3,连结AE,
BE,BD,且AE,BD相交于点F,求S△EF:S△F:S△ABF·
【分析】利用平行四边形对边平行可知△DEF∽△BAF.
【解答】，四边形ABCD是平行四边形，
.DC∥AB,AB=DC
∴.△DEF∽△BAF
.DF:BF=DE:AB=2:5
.S△DEF:S△BF=2:5,
216
S△DEF:S△ABF=(2:5)2=4:25
.S△DEF：S△BF：S△AB=4:10÷25
【点评】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，而高相同的两个
三角形的面积比等于其底的比
例2如图，梯形ABCD中，AD∥BC(AD
,求△AOD与△BOC的周长比
【分析】注意到△AOD∽△COB.
【解答】设S△A0B=6k,S梯形ABCD=25k
由AD∥BC易知S△cD=S△a4B=6k
设S△a4D=S1,S△0=S2,
则S1+S2=13k
又'S△wD：S△aoD=AO:CO
SL_AO
同理警把
∴.S1·S2=36k2
②
联立①，②得S1=4k,S2=9k(注意S1S2)
又.·△AOD∽△COB
C△AOD
S-
4k2
C△aB
3
【点评】这里从面积比出发，其算术平方根即为相似三角形的周长比·
例3在一块三边不等的锐角三角形的余料
上，加工出一个正方形零件，这个正方形的两
个顶点放在哪条边上可使这个正方形的零件
计
面积最大？
【分析】先随意放置于某边，并利用相似表
示出此时正方形的边长，再就一般情形进行
比较
217参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255