参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF
15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255第一讲
等腰三角形的性质与判定
【知识要点】
1.等腰三角形的定义
等腰三角形是指有两条边相等的三角形，因此，等边三角形是特殊的
等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）.
(2)等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线、底边上的高、底边上的
中线互相重合（简称三线合一）.
(3)等边三角形的三边都相等：三个角都是60°.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.等腰三角形的判定
(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称等角对等边）.
(2)有三条边相等的三角形是等边三角形：有三个角相等的三角形是
等边三角形：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.构造等腰三角形的常用技巧
(1)如图1：用“角平分线十平行线”构造等腰三角形.
(2)如图2：用“角平分线十垂线”构造等腰三角形.
(3)如图3：用“垂直平分线”构造等腰三角形.
(4)如图4：用“三角形中的2倍角”构造等腰三角形.
图1
图2
B
图3
图4
【例题精讲】
例1如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB
h树
=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添
上
加一些钢管EF,FG,GH,…,添加的钢管
的长度都与OE相等，则最多能添加这样
的钢管
根.
【分析】由于直角边小于斜边，所以当钢管与OB垂直时，即为最后一根
钢管.
【解答】因为等腰三角形EOF的两底角为10°，易求等腰三角形FEG的
两底角为20°，等腰三角形GFH的两底角为30°，…，最后一个等腰三角
形的两底角为80°，所以最多能添加这样的钢管8根.
【点评】本题反复运用了“等边对等角”和“三角形的外角等于不相邻的
两内角之和”，当钢管与OB垂直时，即为最后一个钢管.这是解决本题的
突破口.
例2如图，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则
∠BAC是
度
【分析】
图中给出了三个等腰三角形，因此可设
∠BAC=a,根据“等边对等角”列出关于α的方程，从
而求得它的解。
【解答】设∠BAC=a,,AB=AC,BG=BH
六∠ABC=90-2a,∠G=45°-1
又·AK=KG.∠A=∠G
2
a=45°-0a=369
【点评】本题综合运用了等腰三角形的边角性质和一元一次方程的知
识，用代数的方法解决几何问题是我们常用的方法.
例3如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或直线
AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点一共有
几个？请找出来。
【分析】由于题中未指明等腰三角形的顶点，
则点P,A,B都有可能做顶点，所以本题要分
类讨论
【解答】以A为顶点的等腰三角形有3个，以
B为顶点的等腰三角形有3个，以P为顶点的
等腰三角形有2个，其中有2个是重合图形，
所以符合条件的P点一共有6个.
【点评】在解决有关等腰三角形的问题中，常常要用到分类讨论的思想
方法.但要注意对结果进行检验
例4如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AC上一点.AE⊥
BD交BD的延长线于E,且AE=BD.
求证：BD是∠ABC的平分线.
【分析】延长AE,BC,交于点F,再证△ACF≌
△BCD,△ABF是等腰三角形.
【证明】
延长AE,BC,交于点F,易证△ACF
≌△BCD,
∴BD=AF,又AE=2BD,·AE=2AF
.AE=EF,又AE⊥BD
.BE垂直平分AF,.AB=BF
·BD是∠ABC的平分线
【点评】本题的辅助线是构造全等三角形，这是几何证明题中常用的方
法，同时，还运用了线段垂直平分线的性质和等腰三角形“三线合一”的
性质.
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