14.如图，I是△ABC的内心，过I作DE⊥AI,分别交AB,AC于
D,E.求证：
(1)CI=EC·BC:
(2)EI=EC·BD.
15.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,当n为大于
2的正整数时，若半径为r的n个等圆⊙O1,⊙O2,…,⊙O,依次外切，且
它们均与AB边相切，⊙O,与AC边相切，⊙O,与BC边相切，求半径r
(用n来表示).
2
81
第九讲
圆与圆的位置关系
【知识要点】
1.圆与圆的位置关系共有五种，见下表
半径和、差与圆
图形
位置关系
交点个数
公切线条数
心距的大小
外离
0
R十r>d
4
外切
1
R十r=d
3
相交
2
R一r
2
R
内切
1
R-r=d
1
R
内含
R-r>d
0
2.熟悉下列基本图形中的基本结论
h
O1O2是AB的垂直平分线
AB∥CD
AB∥CD
82
△ABM是直角三角形
AB=2 Rr
【例题精讲】
例1如图①，已知半径为R的⊙O与半径为r的⊙O2相切于点M,点
P是直线O1O2上的一点，过点P的直线切⊙O,于A,切⊙O2于B.
(1)求证：PM=PB·PA:
(2)设点M到AB的距离为d,求证：)+R-子。
图①
图②
【分析】(1)要证明PP=PB·PA,可通过证明△PMB∽△PAM;
(②)要运明}+良-号，可通过构造两个相似三角形来证明。
【证明】(1)连接AO,,AM,BM,
Mw}P∠PuE=∠PAN-APHAPAM
→PM=PB·PA
(2)如图②，连接O2B作MN⊥AB于N,作O2D⊥O1A于D,交MN
于H,△0，MH△0,0D.→是-R+,R+d-2rR→+最
2
【点评】
在圆中，要证明线段的乘积式、比例式都可以通过三角形相似
证明.
例2已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径
分别为r,R,且r83
(1)如图①，过点B作⊙A的切线与⊙O交于点M,N两点，求证：
AM·AN=2Rr;
(2)如图②，C是⊙A上的一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P,
Q两点，试问：AP·AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论.
图①
图②
【分析】2R,使人想到直径，构造直径，利用三角形相似可以证明.
【解答】(1)在⊙O中，延长AO交⊙O于点D,连接DM.
∠AMD=90°
由
MB⊥AD
}→Rt△ABM∽Rt△AMD→AM=AB
AD AM
→AM
-2Rr
(2)在⊙O中，延长AO交⊙O于点D,连接DQ,AC,
∠AQD=90
PQ⊥AC
→Rt△ADQ∽Rt△APC→AP·AQ=2Rr
∠APQ=∠ADQ
【点评】
利用圆中的相等角，构造三角形相似，是我们证明线段关系常用
的方法
例3如图，圆心为A,B,C的三个圆彼此相切，
且均与直线l相切.若⊙A,⊙B,⊙C的半径分别
为a,bc(0【分析】解题的关键是作圆的基本辅助线，
.
【证明】如图，连接AA1,BB1,CC1,作AD⊥BB1交BB,于点D.
AB2=AD2+BD2→(a+b)2=(b-a)2+A1B→A1B1=W4ab
同理：A,C=√/4ac,BC1=√4bc
由A1C1+B1C1=AB,
所以√/4ab=√/4ac+√/4bc
84参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176