15.设p是实数，二次函数y=x2一2p.x一p的图象与x轴有两个不
同的交点A(x1,0),B(x2,0).
(1)求证：2px1+x+3p>0;
(2)若A,B两点之间的距离不超过|2p一3，求p的最大值.
104
第十一讲函数的最大（小）值
【知识要点】
求函数最大（小）值问题常用如下几种方法
1.配方法：对于二次函数y=ar+a十c=a(x+%)
+dac-b,a
Aa
>0时，当x=一时ym=4
2a
2a<0时，当x=-一2么时y
2a
=Aac-b2
4a
2.判别式法：如果关于x的二次方程Ax2十Bx十C=0有实数根，其
中A,B,C是可能含有y的式子，且至少有一个含有y,A≠0，则△=B2一
4AC≥0，解此不等式就可以求出y的取值范围，进而求出y的最大
(小)值，
3.利用函数的单调性：函数随着自变量的增大而增大或者随着自变
量的增大而减小的性质，称为函数的单调性.前者称为增函数，例如y=
2.x十1，后者称为减函数，例如：y=一3x十1，设函数y=f(x)对于a≤x
b是增函数，则x在此范围内变化时，最小值为f(a),最大值为f(b);设
函数y=f(x)对于axb是减函数，则x在此范围内变化时，最小值为
f(b),最大值为f(a).
4.利用不等式：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1)(a-b)2≥0：
(2)a2+b2≥2ab:
(3)若a>0,b>0,则a+b≥2√ab:
当且仅当a=b时，以上三个式子等号成立.
【例题精讲】
例1(1)设a,b为实数，求a2十ab十b2一a一2b的最小值；
(2)实数x,y,z满足x十y十z=5,xy十yz十2x=3,求z的最大值.
10.5
(3)设x,y,是正数，满足xyz(x十y十x)=1,求(x十y)(y十x)的最
小值.
【分析】(1)可引入参数t=a2十ab十b2一a一2b,将等式整理为关于a的
二次方程，从而利用判别式法求最小值：
(2)x十y十g=5,xy十y2十2x=3可变形为x十y=5一2，xy=3一
z(x十y)=3一z(5一x)=22一5z十3，故可利用根与系数的关系构造方程：
(3)(x十y)(y十)=y(x十y十)十x=1十x,可解决问题.
无2
【解答】(1)设t=a2+ab十b2一a-2b,则
a2十(b-1)a十(b一2b-t)=0,由a为实数，故
△=(b-1)2-4(b2-2b-t)≥0，变形得4t≥3(b-1)2-4≥一4
所以当b=1时，t有最小值一1：
(2)x十y十之=5，xy十yz十x=3可变形为
x十y=5一g,xy=3-(x+y)=3-g(5-g)=g2-5x+3,
故可利用根与系数的关系有x,y是方程t2一(5一)1十2一5一3=
0的两个实数根，由
△=(5-g)2一4(2一52+3)≥0得(3x13)(x+1)≤0，故一1
号
所以当x=y一专时e有最大值号，
(3)(x十y)(y十)=y(x十y十)十x=1十x,由x,之是正数，故
1十x≥2
·xx=2
所以(x十y)(y十)的最小值为2.
【点评】(1)利用一元二次方程根的判别式可以对系数中的参数范围进
行确定；(2)若。为正数，则。十a>2也是我们在求最值问题中常用到的
基本性质.
例2设p,q为实数，且使方程x2十(p十1)x十g=0有实数根，求出p2
q的最小值.
106参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1
三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176