【奥数培优】第14讲 几何不等式 (pdf版，含答案)－九年级数学(通用版)

参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
17614.如图，在△ABC中，延长中线BD,CE到F,G,使DF=BD,EG
=CE,求证：G,A,F三点共线.
D
15.在梯形ABCD中，AB∥CD,M,P,Q,N分别是DA,CA,DB,
CB的中点，求证：M,P,Q,V四点共线
Y
P
B
135
第十四讲几何不等式
【知识要点】
所谓几何不等式，指不等关系出现在几何问题之中，它将几何的论证
与不等式的技巧有机结合在一起，其综合性与难度都比较高.有关几何不
等关系的性质和定理如下：
1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边：
2.三角形的一个外角大于任一不相邻的内角.
3.同一三角形中，大角对大边，大边对大角.
4.两点之间线段最短.
5.直角三角形的斜边大于任一直角边.
6.同圆（等圆）中，弧长越长，所对的圆心角、圆周角越大
7.同圆（等圆）中，直径大于任何一条非直径的弦.
8.两边对应相等的两个三角形中，所夹的角越大，则第三边越大
9.两边对应相等的两个三角形中，第三边越大，则它所对的角越大
10.常用代数不等式：若a>0,b>0,则a2十b2≥2ab:a十b≥2√ab,
当a=b时，等号成立.
【例题精讲】
例1如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥
B1
BC,AB=CD,AD=3,BC=6,点E,F分别
在AB,CD上，且AE=CF,求EF的最小值.
【分析】EF的最小值，容易感觉到应该是
取两腰中点时获得，但如何说明，就要转化为
平行四边形的问题了.
【解答】将整个梯形绕CD的中点旋转180度，得如图所示图形，
由两点间线段最短，我们有2EF≥EM,等号当E,F,M三点共线时
成立，
136
所以当E,F分别为两腰中点时，EF有最小值，
最小值为2(AD+BC)=2(3+6)=4.5
【点评】在这里，我们把梯形的问题转化为平行四边形的问题，从而利用
两点间线段最短这一性质求得最值.
例2不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，最大
边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是
A.<<
1B.C.1D.
∠k<1
2
【分析】三角形中存在的不等关系是两边之和大于第三边，从而可从这
个关系入手进行转化.
【解答】不妨设a为最小边，c为最大边，边a上的高为h。,边c上的高为
he
根据题意，有a十b>c且b=a十C,
2
即a+a>c,故3a>c,
又a=2s
h
所以3
25>25→>
又显然元：
故选B.
【点评】
三角形中，两边之和大于第三边在解决不等关系时时常涉及：
例3设I为△ABC的内心，延长AI,BI,CI分别交△ABC的外接圆于
D,E,F.求证：
(1)D>
2 BC:
(2)AD++BE+CF>AB+BC+CA.
【分析】(1)利用基本图形的基本性质解决问题；(2)利用三角形三边关
系结合(1)解决.
【证明】连接BD,CD
137