【奥数培优】第16讲 构造法 (pdf版，含答案)－九年级数学(通用版)

参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
17613.设a,b,c是整数，且当x=0,x=1时，二次函数y=a.x2十b.x十c
的值都是奇数.求证：二次方程ax2十b.x十c=0(a≠0)没有整数根.
14.已知两个二次方程x2-ab.x+(a+b)=0,x2一(a+b)x+ab=0
(其中a>2,b>2)
求证：这两个方程没有公共根.
15.求证：对角互补的四边形必有一个外接圆.
150
第十六讲构造法
【知识要点】
解决数学的一般问题，通常是沿着由条件到结论的方向进行思考，但
对于一些复杂的问题，我们需要换一个角度，将问题中的条件、结论经过
适当的逻辑组合，构造成一种新的形式，或者利用熟悉的数学模型，构造
出一种新的模式，使问题得以解决，利用构造法解题的思维过程是一种创
造性的思维过程.利用构造法解题，灵活性大，技巧性高，若能正确恰当地
使用构造法，可以使问题变复杂为简明，变抽象为具体，变隐晦为直观，更
有效地解决数学竞赛中的一些复杂问题.常用构造法解题的基本方法有：
1.构造方程；
2.构造函数：
3.构造图形：
4.对于存在性问题，构造实例：
5.对于错误命题，构造反例：
6.构造等价命题.
【例题精讲】
例1已知实数a,b,c满足a≠b,且2002(a一b)十√2002(b一c)十(c一a)》
=0,求代数式c一b)(c二a的值.
(a-b)8
【分析】显然求a,b,c的值或寻求a,b,c的关系是困难的，令√2002=
x,原方程可变为关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系求解」
【解答】令√2002=x,因a≠b,故原方程可变为关于x的一元二次
方程，
(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0
因(a一b)十(b一c)十(c一a)=0故方程的另一根为1，则由根与系数
的关系有：
151
6二8√202+1，。号V202
a-b
所以c-)-@)-√202.(V2002+1D=202+V202
(a-b)2
【点评】
在这里我们通过构造方程利用根与系数的关系求出了代数式
的值.
例2设a1,a2,b1,b2都为实数，a1≠a2,
满足(a1+b1)(a1+bz)=(a2+b1)(a2+b2)=1,
求证：(a1十b1)(a2+b)=(a1十b2)(a2+b2)=一1.
【分析】可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔
细观察a1,a2可看作方程(x十b1)(x十b2)=1的两个根，则(x十b)(x十
b2)一1=(x一a1)(x一a2).通过构造方程揭示题设条件与结论的内在
规律.
【证明】由a1≠a2,和(a1十b1)(a1十b2)=(ag+b)(a2+b2）=1,
可知a1,a2可看作方程(x十b)(x十b2)=1的两个不相等的实根，
故(.x十b1)(x+b2)-1=(x一a1)(x一ag).
对此等式令x=一b1,则(a1+b)(a2十b,)=一1；令x=一b2,则(a
十b2)(a2+b2)=-1.
【点评】本题我们同样通过构造方程，从而得到恒等式，轻易地解决了
问题.
例3已知b,c为整数，方程5.x2十bx十c=0的两根都大于一1且小于0，
求b和c的值，
【分析】利用求根公式，解不等式组，求出b,c的范国，这是解本题的基
本思路，解法繁琐；由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造画
数y=5x2十bx十c,从讨论抛物线与x轴的交，点在一1与0之间所满足的
约束条件入手
【解答】根据函数y=5.x2十b.x十c的图象和题设条件知
当x=0时，5x2十b.x十c>0,所以c>0;
当x=-1时，5.x2十b.x十c>0,所以5十c>b.
①
抛物线的顶点横坐标一2及5满足-1<-2女<0，所以0<<10，
②
152