【奥数培优】第3讲 整体思想 (pdf版，含答案)－九年级数学(通用版)

参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176第三讲
整体思想
【知识要点】
我们在解决一些实际问题中，往往从整体着眼解决问题，在处理一些
数学问题时，我们也可以从整体人手来解决.利用整体思想必须从问题的
大处着眼、整体人手，突出对问题结构的分析上，把一些零散的联系起来，
需要改变问题结构，体现整体性，这样可以用整体观察、整体代人、整体变
形等方法来解决问题，
【例题精讲】
例1若x,y,2满足3.x十7y十x=1和4x十10y十x=2001,求分式
2000x+2000y+2000:的值.
x+3y
【分析】
原式
2000(x+y十，视x十3y与x十y十之为两个整体，对方
x+3y
程组进行整体玫造，
2(x+3y)+(x+y+)=1
【解答】由条件变形得：
3(x十3y)+(x+y+x)=2001'
解得
x+3y=2000
x+y十z=-3999
所以原式=2000(+y+2=-399.
x+3y
【点评】本题也可以通过消元来解决间题，且具有一般性，但计算的过程
较为复杂.
例2已知x=2方y=一
5
求x2十xz+2yz+3.x十3z十4.xy十5的值.
【分析】若直接代入，运算起来比较麻烦.观察所给三个数，x十之=0，xy
=一1，因此将待求值的代数式适当变形，再代入求值就方便了，
【解答】x2+xz+2yz+3.x+3x十4xy十5
22
=x(x+x)+3(x+g)+2y(x+)+2xy+5
由x十x=0,xy=一1，
所以x2+xx+2y2+3x+32+4xy+5=3.
例3已知x3+x2+x十1=0，那么1十x+x2+x3+…+x2o8
【分析】1十x十x2十x3+…十x08共2009项，除1外，依次每四项一组，
共502组，每组中有因式x3十x2十x十1，因此结果为1.
【解答】1十x十x2十x3+…十x200s
=1十x(1+x十x2+x3)+x(1十x+x2+x3)十…十x20s(1十x十x2
十x3)
=1
【点评】这道题也可以从已知条件入手，对x3十x2十x十1=0变形得x
=一x2一x一1，从而代入1+x十x2十x3+·+x208,可通过降次解决
问题.
例4已知a=1996.x+1995,b=1996.x+1996,c=1996.x+1997,那么
a2+b2+c2一ab-bc-ca的值是
A.1
B.2
C.3
D.4
【分析】a,b,c中都有相同的加数1996x,若两效相减，就可以消去
1996x,得到a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.而a2十b2十c2-ab-bc-ca
可以通过配方用a一b,b一c,c一a来表示.
【解答】由已知条件，有a-b=一1，b-c=一1，c一a=2
所以a2+b+c2-ab-bc-ca
2[a-b)+b-c)2+(c-a)]
=3
【点评】在这里，通过对条件与结论的变形，从而达到了整体换元的
目的.
例5阅读并完成下列问题：方程x十上=号的解是=2，，=2：方程
+士9的解是=8=子关于x的方程，斗=a十。的
x-1
解是多少？
23