【奥数培优】第18讲 解直角三角形 (pdf版，含答案)－九年级数学(通用版)

参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
17614.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D是AC的三等分点，
求∠DBC的正切及正弦值.
15.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠DBC=45°，翻折梯形
ABCD,使点B重合于D点，折痕分别交AB,BC于点F,E,若AD=2,
BC=8,求：
(1)BE的长：
(2)∠CDE的正切值.
165
第十八讲
解直角三角形
【知识要点】
所谓解直角三角形就是指在已知直角三角形除一个直角的其他两个
元素（至少已知一边）的前提下，求其余的三个元素.
在没有直角的前提下，我们常采用作某边上的高用“以斜化直”的方
法，转化为如下两个基本图形：
3
H
如上图所示，已知三角形的两边分别为b,c,夹角为∠A,则面积公式
为：S△=
【例题精讲】
例1如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好在土坡的坡面
CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m,BC=
(4√6一2√2)m,求电线杆AB的长（精确到0.1）.
【分析】延长AD交BC于点E,作
DF⊥BC于点F,为解直角三角形创
造条件
【解答】延长AD交BC于点E,作
DF⊥BC于点F,根据题意，易得
CF=DF=2W2,EF=DF·
77777777777777777
tan60°=2√6→BE=6√6，AB=BE
。tan30
166
AB=6V2≈8.5
【点评】解直角三角形的关键就是直角三角形的构造，
例2如图，在四边形ABCD中，AB=4一√2，BC=1,CD=3,∠B=
135°，∠C=90°，求∠D的度数.
【分析】通过对内分割或向外补形，构造直
3
角三角形，
【解答】过点A作AE⊥CD,交CD于点E,
过点B作BF⊥AE交AE于点F,
则AF=BF=CE=2√2一1→AE=
2√2，ED=4-2√2
由tan∠EDA=AE=22
=1=2+1,有∠EDA=67.5
ED4-2√2V2-1
【点评】tana=√2十1，则∠a=67.5°可作为一个基本结论，有兴趣的同
学可自行证明；
另本题也可以通过延长AB,DC交于点M,构造基本三角形解决
问题.
例3如图，已知在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的
斜坡前进300米到达D点，在D点处测得山顶A的仰角为60°，求山高
AB.(精确到1米)
【分析】注意到，△ACB,△ADF都是特殊的直角三角形，故可通过这两
个三角形的边角关系建立方程.
【解答】在Rt△ABC中，∠ACB=45°，故AB=BC,
过D作DF⊥AB,DE⊥CB,在Rt△CDE中，∠DCE=
30°，CD=300m,故DE=150m,CD=150w3m,又
△ACD为等腰三角形，故四边形DEBF为正方形，
0
AB=CE十DF≈410(m).
【点评】在这里，我们通过直角三角形中边角之间
的关系解决问题，
例4如图，△ABC中，∠A=135°，∠B=15°，AB=√2，求BC,CA的长.
167