【奥数培优】第1讲 关于中点的联想 (pdf版，含答案)－九年级数学(通用版)

参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176第一讲关于中点的联想
【知识要点】
线段中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点，图
形中，出现中点，可以引发我们丰富的联想：
中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线常用手段，因为直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形，所以作直角三角形斜边中线也是常用辅助线，
梯形、三角形的中位线与中点息息相关，
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半：
梯形的中位线等于上、下底和的一半，并且平行于上、下底，
等腰三角形的三线合一也和中点有关联：
在等腰三角形中，底边上的中线和顶角角平分线、底边上的高重合，
【例题精讲】
例1如图，在△BAC中，AD是BC边的中线，BA=10,AC=24,AD=
13,求BC的长.
【分析】已知BA=10,AC=24,AD=13,三条线段不在同一基本图形
中，故可抓住D为中点这一条件转化线段，把已知线段集中在一个基本
图形中.
【解答】解法一：延长AD到E,使得DE=AD,
连接EC.
易证△BAD≌△CED,
.EC=BA
在△ACE中，AC=24,AE=26,CE=10,
.△ACE为直角三角形
又D为AE的中点，
.BC=2CD=AE=26
解法二：取AC的中点F,连接DF.
DF为△CBA的中位线，AB=10,
∴.DF=5,
在△DFA中，DF=5,FA=12,AD=13
.△DFA为直角三角形，DF⊥AC
又AF=FC
.'.DC=AD=13
.BC=2DC=26.
例2如图，在△ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，G,H为AC的三
等分点，连接EG,FH并延长，交于点D,连接AD,CD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
【分析】G,H为AC的三等分点，所以G,H
分别为AH,GC的中点，故可以考虑用中位线
的性质去说明四边形ABCD是平行四边形.
了打
【证明】连接BG,BH,BD,设BD与AC交
于点M.
在△ABH中，EG是中位线
.EG∥BH
同理FH∥BG
,四边形GBHD是平行四边形
BM=DM.GM=HM
又AG=CH,
∴.AM=CM
.四边形ABCD是平行四边形.
例3如图，△ABC中，∠A=2∠B,CD是△ABC的高，E为AB的中
点，求证：DE=2AC.
【分析
】要证明DE=2AC,构造线段2AC成
为本题关键
【证明】取AC的中点F,连接DF,EF
2