数学人教A版（2019）选择性必修 第三册 第七章——二项分布 （共29张）

(共29张PPT)
7.4.1 二项分布
学习目标
1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
.
01 创设情境
随机变量
随机试验的结果
01 创设情境
思考1
下面是几个常见的随机试验，这些随机试验有何特征？
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面朝上还是反面朝上;
(2)一个盒子中装有三个红球和2个黑球，从中任意摸取一个球观察其颜色;
(3)一个篮球运动员罚球一次.
正面朝上；反面朝上
红球；黑球
命中；未命中
只包含两种试验结果
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
01 创设情境
(1)掷一枚质地均匀的硬币;
(2)一个盒子中装有三个红球和2个黑球，从中任意摸取一个球观察其颜色;
(3)一个篮球运动员罚球一次.
连续抛掷7次
有放回地摸取5个球
罚球2次
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
01 创设情境
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
思考： n重伯努利试验有何特征？
同一个伯努利试验重复做n次;
各次试验的结果相互独立.
“重复”意味着各次试验的概率相同
02 探究新知
思考2：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
随机试验 是否为n重 伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
（1）
（2）
（3）
是
是
是
0.5
0.8
0.05
10
3
20
抛掷一枚质地均匀的硬币
该运动员射击一次
从产品中抽取样品
02 探究新知
思考3：
(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？
(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？
(1) 伯努利试验做一次试验, n重伯努利试验做n次试验.
(2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生; 在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数X .
02 探究新知
探究1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
用树状图表示试验的可能结果
试验结果
X的值
02 探究新知
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.
由概率的加法公式和乘法公式得
思考：可以简化表示吗？
02 探究新知
探究1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为110，101，011，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.
1
1
1
1
1
1
0
0
0
02 探究新知
探究1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
同理可求中靶0次、1次、3次的概率.
02 探究新知
思考4：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列.
(1)连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
(2) 中靶次数X的分布列为：
02 探究新知
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0二项分布
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
02 探究新知
二项分布的分布列如下表：
二项分布条形图
02 探究新知
二项分布的分布列如下表：
思考5：1.对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.
2.二项分布和两点分布有什么联系？
当n=1时，得到两点分布的分布列：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
02 探究新知
二项分布的分布列如下表：
思考5：1.对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
2.二项分布和两点分布有什么联系？
当n=1时，得到两点分布的分布列：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
03 典例剖析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5).
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
03 典例剖析
例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0, 1, 2, , 10,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.
03 典例剖析
例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0, 1, 2, , 10,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5)
于是，X的分布列为
03 典例剖析
X的概率分布图如下图所示：
拓展：当高尔顿板中的所有小球都落下时，你认为它们会堆积出一个什么样的形状呢？
03 典例剖析
例3甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解法1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
03 典例剖析
例3甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解法2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
03 典例剖析
思考6: 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率
采用3局2胜制赛满3局时, 若前2局获胜, 那第3局的胜负并不影响甲获胜; 同样, 采用5局3胜制赛满5局, 若前3局获胜, 那后2局的胜负并不影响甲获胜, 若前4局胜3局, 那第5局的胜负也不影响甲获胜.
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
03 典例剖析
方法总结
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
(2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
04 深入探究
探究2：假设随机变量X服从二项分布B(n, p),那么X的均值和方差各是什么
我们不妨从简单开始, 先考察n较小的情况.
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p.
D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
04 深入探究
二项分布的均值与方差：
下面对均值进行证明.
证明：
05 归纳总结
知识
素养
方法
Thank you！